Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde DE // BC olduğu belirtilmiştir. Ayrıca A, F, G noktaları doğrusaldır. Bu durum, temel benzerlik teoremini (Thales Teoremi) kullanmamızı sağlar.

• Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme

DE // BC ve A, F, G noktaları doğrusal olduğundan, aşağıdaki benzer üçgenler oluşur:

• $\triangle ADF \sim \triangle ABG$
• $\triangle AFE \sim \triangle AGC$
• Adım 2: Benzerlik Oranlarını Yazma

Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları oranları eşittir:

• $\triangle ADF \sim \triangle ABG$ için: $\frac{|DF|}{|BG|} = \frac{|AF|}{|AG|}$
• $\triangle AFE \sim \triangle AGC$ için: $\frac{|FE|}{|GC|} = \frac{|AF|}{|AG|}$
• Adım 3: Oranları Eşitleme ve Değerleri Yerine Koyma

Her iki oran da $\frac{|AF|}{|AG|}$'ye eşit olduğundan, bu oranları birbirine eşitleyebiliriz:

$\frac{|DF|}{|BG|} = \frac{|FE|}{|GC|}$

Soruda verilen değerleri ve bilinmeyeni yerine yazalım:

• $|DF| = x$ (Aradığımız değer)
• $|GC| = x$ (Çünkü $|DF| = |GC|$ verilmiş)
• $|FE| = 2$ cm
• $|BG| = 6$ cm

Denklemimiz şu şekli alır:

$\frac{x}{6} = \frac{2}{x}$

• Adım 4: Denklemi Çözme

İçler dışlar çarpımı yaparak x değerini bulalım:

$x \cdot x = 6 \cdot 2$

$x^2 = 12$

$x = \sqrt{12}$

$x = \sqrt{4 \cdot 3}$

$x = 2\sqrt{3}$

Buna göre, $|DF|$ uzunluğu $2\sqrt{3}$ cm'dir.

Cevap E seçeneğidir.