Verilen üçgen ABC'de, D ve E noktaları sırasıyla AC ve AB kenarlarının orta noktalarıdır. Bu bilgi, ED doğru parçasının ABC üçgeninin bir orta tabanı olduğunu gösterir.

• Orta Taban Özelliği: E ve D orta noktalar olduğundan, ED doğru parçası BC kenarına paraleldir ve uzunluğu BC kenarının yarısıdır. Yani, `$\text{|ED|} = \frac{1}{2} \text{|BC|}$`.
• Benzer Üçgenler: ED // BC olduğundan, `$\triangle$EDF` ve `$\triangle$KCF` üçgenleri benzerdir.
  • `$\angle$DEF = $\angle$KCF` (iç ters açılar)
  • `$\angle$EDF = $\angle$CKF` (iç ters açılar)
  • `$\angle$EFD = $\angle$KFC` (ters açılar)
  Bu durumda, `$\triangle$EDF \sim \triangle$KCF` benzerliği geçerlidir.
• Benzerlik Oranı: Verilen `$\frac{|DF|}{|DK|} = \frac{3}{7}$` oranını kullanalım.
  • `$|DF| = 3k$` dersek, `$\text{|DK|} = 7k$` olur.
  • `$\text{|DK|} = \text{|DF|} + \text{|FK|}$` olduğundan, `$7k = 3k + \text{|FK|}$`.
  • Buradan `$\text{|FK|} = 4k$` bulunur.
  • `$\triangle$EDF` ve `$\triangle$KCF` arasındaki benzerlik oranı `$\frac{|DF|}{|KF|} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$` olur.
• Kenar Uzunluklarını İlişkilendirme: Benzerlik oranından, `$\frac{|ED|}{|KC|} = \frac{3}{4}$` yazabiliriz.
  • `$\text{|KC|} = x$` olarak verilmiştir.
  • Bu durumda, `$\frac{|ED|}{x} = \frac{3}{4}$`, yani `$\text{|ED|} = \frac{3x}{4}$` olur.
• x Değerini Bulma: Orta taban özelliğinden `$\text{|ED|} = \frac{1}{2} \text{|BC|}$` olduğunu biliyoruz.
  • `$\text{|BC|} = \text{|BK|} + \text{|KC|} = 4 + x$` olarak bulunur.
  • Bu durumda, `$\text{|ED|} = \frac{1}{2} (4 + x)$` olur.
  • Şimdi `$\text{|ED|}$` için bulduğumuz iki ifadeyi eşitleyelim: `$\frac{3x}{4} = \frac{1}{2} (4 + x)$`
  • Denklemi çözmek için her iki tarafı 4 ile çarpalım: `$3x = 2 (4 + x)$`
  • `$3x = 8 + 2x$`
  • `$3x - 2x = 8$`
  • `$x = 8$`

Yukarıdaki adımları takip ederek x değerini 8 olarak buluruz.

Cevap E seçeneğidir.