Sorunun Çözümü
- DE // BC ve [BI] açıortay olduğundan, iç ters açılardan $\angle DIB = \angle IBC$. [BI] açıortay olduğundan $\angle DBI = \angle IBC$. Bu durumda $\angle DIB = \angle DBI$ olur, yani $\triangle DIB$ ikizkenar üçgendir ve $|DI| = |DB|$.
- Benzer şekilde, DE // BC ve [CI] açıortay olduğundan, iç ters açılardan $\angle EIC = \angle ICB$. [CI] açıortay olduğundan $\angle ECI = \angle ICB$. Bu durumda $\angle EIC = \angle ECI$ olur, yani $\triangle EIC$ ikizkenar üçgendir ve $|EI| = |EC|$.
- Verilen uzunluklara göre, $|DB| = x$ olduğundan $|DI| = x$. $|EC| = 2x$ olduğundan $|EI| = 2x$.
- DE uzunluğu $|DE| = |DI| + |IE| = x + 2x = 3x$.
- DE // BC olduğundan, $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ benzer üçgenlerdir. Benzerlik oranını kullanarak: $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|}$.
- Uzunlukları yerine yazalım: $|AD| = x^2$, $|AB| = |AD| + |DB| = x^2 + x$, $|AE| = 8$, $|AC| = |AE| + |EC| = 8 + 2x$.
- Denklemi kuralım: $\frac{x^2}{x^2 + x} = \frac{8}{8 + 2x}$. Sol tarafı sadeleştirelim: $\frac{x}{x+1}$.
- Denklem $\frac{x}{x+1} = \frac{8}{2(4 + x)}$ haline gelir. İçler dışlar çarpımı yaparsak: $x \cdot 2(4+x) = 8(x+1)$.
- $8x + 2x^2 = 8x + 8 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4$. Uzunluk pozitif olmalı, bu yüzden $x = 2$.
- Şimdi BC uzunluğunu bulmak için benzerlik oranını tekrar kullanalım: $\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}$.
- $|DE| = 3x = 3(2) = 6$. $|AD| = x^2 = 2^2 = 4$. $|AB| = x^2 + x = 4 + 2 = 6$.
- Değerleri yerine yazalım: $\frac{6}{|BC|} = \frac{4}{6} \Rightarrow \frac{6}{|BC|} = \frac{2}{3}$.
- $2 \cdot |BC| = 6 \cdot 3 \Rightarrow 2 \cdot |BC| = 18 \Rightarrow |BC| = 9$ birim.
- Doğru Seçenek C'dır.