Verilen bilgilere göre, adımları takip ederek GDE üçgeninin çevresini bulalım:
- 1. Ağırlık Merkezi Özelliğini Kullanarak $|GD|$'yi Bulma:
G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, kenarortayları köşeden kenara doğru 2:1 oranında böler. BD bir kenarortay olduğundan,
$$|BG| = 2|GD|$$
Verilen $|BG| = 8 \text{ cm}$ olduğundan,
$$8 = 2|GD| \implies |GD| = 4 \text{ cm}$$
- 2. Dik Kenarortay Özelliğini ve Pisagor Teoremini Kullanarak $|AG|$'yi Bulma:
Soruda $AE \perp BD$ verilmiştir. Bu, kenarortayların G noktasında dik kesiştiği anlamına gelir. Dolayısıyla, $\triangle AGB$ bir dik üçgendir ve dik açı G noktasındadır.
Pisagor Teoremi'ne göre:
$$|AB|^2 = |AG|^2 + |BG|^2$$
Verilen $|AB| = 17 \text{ cm}$ ve $|BG| = 8 \text{ cm}$ değerlerini yerine koyarsak:
$$17^2 = |AG|^2 + 8^2$$
$$289 = |AG|^2 + 64$$
$$|AG|^2 = 289 - 64$$
$$|AG|^2 = 225$$
$$|AG| = \sqrt{225} \implies |AG| = 15 \text{ cm}$$
- 3. Ağırlık Merkezi Özelliğini Kullanarak $|GE|$'yi Bulma:
AE bir kenarortay olduğundan ve G ağırlık merkezi olduğundan,
$$|AG| = 2|GE|$$
Bulduğumuz $|AG| = 15 \text{ cm}$ değerini yerine koyarsak:
$$15 = 2|GE| \implies |GE| = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}$$
- 4. Orta Taban Özelliğini Kullanarak $|DE|$'yi Bulma:
BD kenarortay olduğu için D noktası AC kenarının orta noktasıdır.
AE kenarortay olduğu için E noktası BC kenarının orta noktasıdır.
D ve E noktaları sırasıyla AC ve BC kenarlarının orta noktaları olduğundan, DE doğru parçası $\triangle ABC$'nin orta tabanıdır.
Orta taban özelliği gereği, $|DE|$ uzunluğu, paralel olduğu AB kenarının uzunluğunun yarısıdır:
$$|DE| = \frac{1}{2}|AB|$$
Verilen $|AB| = 17 \text{ cm}$ olduğundan,
$$|DE| = \frac{1}{2} \times 17 = 8.5 \text{ cm}$$
- 5. GDE Üçgeninin Çevresini Hesaplama:
GDE üçgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır:
$$\text{Çevre}(\triangle GDE) = |GD| + |GE| + |DE|$$
Bulduğumuz değerleri yerine koyarsak:
$$\text{Çevre}(\triangle GDE) = 4 + 7.5 + 8.5$$
$$\text{Çevre}(\triangle GDE) = 20 \text{ cm}$$
Cevap E seçeneğidir.