Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AE] açıortaydır.

• G ağırlık merkezi olduğu için: G noktası, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Eğer G noktası [AE] üzerinde ise, [AE] aynı zamanda bir kenarortaydır. Bu durumda E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır.
• E noktası [BC] kenarının orta noktası olduğu için: Verilen |EC| = 12 cm ise, |BE| = |EC| = 12 cm olur. Dolayısıyla |BC| = |BE| + |EC| = 12 + 12 = 24 cm'dir.
• [AE] hem açıortay hem de kenarortay olduğu için: Bir üçgende bir kenarortay aynı zamanda açıortay ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir ve bu kenarortayın çıktığı köşenin kenarları birbirine eşittir. Yani, |AB| = |AC|'dir.
• G ağırlık merkezi olduğu için kenarortayı 2:1 oranında böler: [AE] kenarortayı üzerinde G noktası |AG| = 2|GE| olacak şekilde böler. Verilen |AG| = 18 cm olduğundan, |GE| = 18 / 2 = 9 cm'dir. Böylece kenarortay [AE]'nin uzunluğu |AE| = |AG| + |GE| = 18 + 9 = 27 cm olur.
• Kenarortay uzunluk formülü ile |AB| ve |AC|'yi bulalım: Bir üçgende $m_a$ kenarortayının uzunluğu için formül $4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$'dir. Burada $m_a = |AE| = 27$, $a = |BC| = 24$, $b = |AC|$, $c = |AB|$. |AB| = |AC| olduğundan $b=c$ diyelim. $$4 \cdot |AE|^2 = 2|AC|^2 + 2|AB|^2 - |BC|^2$$ $$4 \cdot (27)^2 = 2c^2 + 2c^2 - (24)^2$$ $$4 \cdot 729 = 4c^2 - 576$$ $$2916 = 4c^2 - 576$$ $$4c^2 = 2916 + 576$$ $$4c^2 = 3492$$ $$c^2 = 3492 / 4 = 873$$ Yani, $|AB|^2 = |AC|^2 = 873$ cm$^2$'dir.
• [BD] kenarortayının uzunluğunu bulalım: G ağırlık merkezi olduğundan, [BD] de bir kenarortaydır ve D noktası [AC] kenarının orta noktasıdır. Kenarortay uzunluk formülünü [BD] için uygulayalım: $$4|BD|^2 = 2|AB|^2 + 2|BC|^2 - |AC|^2$$ |AB| = |AC| olduğundan: $$4|BD|^2 = 2|AB|^2 + 2|BC|^2 - |AB|^2$$ $$4|BD|^2 = |AB|^2 + 2|BC|^2$$ $$4|BD|^2 = 873 + 2(24)^2$$ $$4|BD|^2 = 873 + 2(576)$$ $$4|BD|^2 = 873 + 1152$$ $$4|BD|^2 = 2025$$ $$|BD|^2 = 2025 / 4$$ $$|BD| = \sqrt{2025 / 4} = 45 / 2 \text{ cm}$$
• |GD| uzunluğunu bulalım: G ağırlık merkezi olduğu için [BD] kenarortayını |BG| = 2|GD| oranında böler. Dolayısıyla |GD| = (1/3)|BD|'dir. $$x = |GD| = (1/3) \cdot (45/2)$$ $$x = 15/2 \text{ cm}$$

Cevap E seçeneğidir.