Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde:

• [CF] ve [AE] kenarortaylardır. Bu durumda, G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
• Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler. Dolayısıyla, $|CG| = 2|GF|$ ve $|AG| = 2|GE|$'dir.
• [DE] // [AB] ve E noktası [BC] kenarının orta noktasıdır (çünkü AE kenarortaydır). Bir üçgende bir kenarın orta noktasından karşı kenara paralel çizilen doğru, üçüncü kenarı da ortalar. Bu durumda, D noktası [AC] kenarının orta noktasıdır.
• D noktası [AC]'nin orta noktası olduğuna göre, $|CD| = |DA|$'dır.

Şimdi, [DE] // [AB] bilgisini kullanarak benzer üçgenleri inceleyelim:

• $\triangle CDK$ ve $\triangle CAF$ üçgenleri benzerdir (Açı-Açı benzerliği: $\angle C$ ortak, $\angle CDK = \angle CAF$ çünkü DE // AB).
• Benzerlik oranı $|CD|/|CA|$'dır. D noktası [AC]'nin orta noktası olduğundan, $|CD|/|CA| = 1/2$'dir.
• Bu benzerlik oranına göre, $|CK|/|CF| = 1/2$ olur. Yani, $|CK| = \frac{1}{2}|CF|$.

Ağırlık merkezi özelliğini kullanalım:

• G ağırlık merkezi olduğu için, $|CG| = 2|GF|$'dir.
• [CF] kenarortayının uzunluğunu $|CF| = |CG| + |GF|$ olarak yazabiliriz.
• Eğer $|GF| = k$ dersek, $|CG| = 2k$ ve $|CF| = 3k$ olur.

Şimdi bu bilgileri birleştirelim:

• $|CK| = \frac{1}{2}|CF|$ eşitliğinde $|CF|=3k$ yerine yazarsak: $|CK| = \frac{1}{2}(3k) = \frac{3}{2}k$.
• Soruda $|KC| = 12$ cm olarak verilmiştir. Bu durumda, $\frac{3}{2}k = 12$ olur.
• Denklemi çözerek $k$ değerini bulalım: $3k = 24 \implies k = 8$.

Şimdi $|GK|=x$ değerini bulalım:

• $|GF| = k = 8$ cm.
• $|CG| = 2k = 2 \times 8 = 16$ cm.
• $|CK| = 12$ cm ve $|CG| = 16$ cm olduğuna göre, K noktası C ile G arasındadır.
• Bu durumda, $|CG| = |CK| + |GK|$ eşitliğini yazabiliriz.
• $16 = 12 + x$.
• $x = 16 - 12 = 4$ cm.

Cevap C seçeneğidir.