Sorunun Çözümü
- G ağırlık merkezi ve [AG] açıortay olduğundan, ABC üçgeni ikizkenar üçgendir ve [AD] kenarortaydır. Bu durumda $|AB| = |AC| = x$ olur.
- G ağırlık merkezi olduğundan, kenarortayı $2:1$ oranında böler. $|AG| = 6 cm$ verildiğine göre, $|GD| = |AG|/2 = 6/2 = 3 cm$ olur.
- AD kenarortayının uzunluğu $m_a = |AD| = |AG| + |GD| = 6 + 3 = 9 cm$ bulunur.
- [BG] $\perp$ [GC] olduğu için, B ve C köşelerinden gelen kenarortaylar dik kesişmektedir. Bu durumda $b^2 + c^2 = 5a^2$ bağıntısı geçerlidir.
- ABC ikizkenar üçgen olduğundan $b=c=x$ ve $a=|BC|$'dir. Bağıntıyı yerine yazarsak, $x^2 + x^2 = 5a^2 \implies 2x^2 = 5a^2$ elde ederiz. Buradan $a^2 = \frac{2x^2}{5}$ olur.
- Kenarortay uzunluğu formülü $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ kullanılarak, $9^2 = \frac{2x^2 + 2x^2 - a^2}{4}$ yazılır.
- $81 = \frac{4x^2 - a^2}{4} \implies 324 = 4x^2 - a^2$.
- $a^2 = \frac{2x^2}{5}$ ifadesini $324 = 4x^2 - a^2$ denkleminde yerine koyarsak: $324 = 4x^2 - \frac{2x^2}{5}$.
- Denklemi çözdüğümüzde: $324 = \frac{20x^2 - 2x^2}{5} \implies 324 = \frac{18x^2}{5}$.
- $18x^2 = 324 \times 5 \implies x^2 = \frac{324 \times 5}{18} \implies x^2 = 18 \times 5 \implies x^2 = 90$.
- $x = \sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10} cm$.
- Doğru Seçenek D'dır.