Verilen bilgilere göre, ABC bir üçgendir ve AN doğru parçası A açısının açıortayıdır çünkü $m(\angle BAN) = m(\angle NAC) = 45^\circ$ olarak verilmiştir.

Bu durumda, A açısının tamamı $m(\angle BAC) = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ olur. Yani, ABC üçgeni A köşesinde dik açılı bir üçgendir.

Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları izleyelim:

• Açıortay Teoremi'ni Uygula:

Bir üçgende açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Buna göre, ABC üçgeninde AN açıortay olduğundan:

$$ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BN|}{|NC|} $$

Verilen değerleri yerine yazarsak:

$$ \frac{|AB|}{x} = \frac{20}{15} $$

Oranı sadeleştirirsek:

$$ \frac{|AB|}{x} = \frac{4}{3} $$

Buradan $|AB|$ uzunluğunu $x$ cinsinden ifade edebiliriz:

$$ |AB| = \frac{4}{3}x $$
• Pisagor Teoremi'ni Uygula:

ABC üçgeni A köşesinde dik açılı bir üçgen olduğundan, Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz:

$$ |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 $$

Kenar uzunluklarını yerine yazalım:

• $|AB| = \frac{4}{3}x$
• $|AC| = x$
• $|BC| = |BN| + |NC| = 20 + 15 = 35$ cm

Denklemde yerine koyarsak:

$$ \left(\frac{4}{3}x\right)^2 + x^2 = 35^2 $$ $$ \frac{16}{9}x^2 + x^2 = 1225 $$

Ortak paydada toplarsak:

$$ \frac{16x^2 + 9x^2}{9} = 1225 $$ $$ \frac{25x^2}{9} = 1225 $$

$x^2$ değerini bulmak için denklemi düzenleyelim:

$$ 25x^2 = 1225 \times 9 $$ $$ x^2 = \frac{1225 \times 9}{25} $$

Sadeleştirme yaparsak ($1225 = 25 \times 49$):

$$ x^2 = \frac{25 \times 49 \times 9}{25} $$ $$ x^2 = 49 \times 9 $$

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

$$ x = \sqrt{49 \times 9} $$ $$ x = \sqrt{49} \times \sqrt{9} $$ $$ x = 7 \times 3 $$ $$ x = 21 $$

Buna göre, $|AC| = x = 21$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.