Verilen bilgilere göre, Şekil 1'deki ABC üçgeni ikizkenardır ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$, $|AB| = |AC|$'dir. Bu durumda taban açıları:

• $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Kağıt [BD] boyunca katlandığında A köşesi [BC] üzerindeki K noktası ile çakışıyor. Bu katlama işlemi aşağıdaki özellikleri sağlar:

• $|AB| = |KB|$ (katlama ekseni BD'ye göre A ve K simetrik olduğundan).
• $|AD| = |KD|$.
• $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{KBD})$.

K noktası [BC] üzerinde olduğundan, $\widehat{BKA}$ ve $\widehat{AKC}$ açıları doğru açı oluşturur, yani $m(\widehat{BKA}) + m(\widehat{AKC}) = 180^\circ$.

Şimdi açıları bulalım:

• $\triangle ABK$ üçgeni ikizkenardır ($|AB| = |KB|$). $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{KBD}) = \alpha$ diyelim. O zaman $m(\widehat{ABK}) = 2\alpha$.
• $\triangle ABK$'de taban açıları $m(\widehat{BAK}) = m(\widehat{BKA}) = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$.
• $m(\widehat{KAC}) = m(\widehat{BAC}) - m(\widehat{BAK}) = 120^\circ - (90^\circ - \alpha) = 30^\circ + \alpha$.
• $\triangle AKC$ üçgeninde $m(\widehat{KCA}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{KAC}) = 30^\circ + \alpha$.
• $m(\widehat{AKC}) = 180^\circ - m(\widehat{KCA}) - m(\widehat{KAC}) = 180^\circ - 30^\circ - (30^\circ + \alpha) = 120^\circ - \alpha$.
• K noktası [BC] üzerinde olduğu için $m(\widehat{BKA}) + m(\widehat{AKC}) = 180^\circ$ olmalıdır.
• $(90^\circ - \alpha) + (120^\circ - \alpha) = 180^\circ \implies 210^\circ - 2\alpha = 180^\circ \implies 2\alpha = 30^\circ \implies \alpha = 15^\circ$.

Bu durumda $m(\widehat{ABD}) = 15^\circ$ ve $m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{ABC}) - m(\widehat{ABD}) = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ$. Yani [BD], $\widehat{ABC}$ açısının açıortayıdır.

Şimdi kenar uzunluklarını bulalım:

• $\triangle ABC$'de $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{ABC}) = 30^\circ$. Bir A köşesinden BC'ye dik indirirsek (H noktası), $|BH| = |AB| \cos 30^\circ = |AB| \frac{\sqrt{3}}{2}$. Dolayısıyla $|BC| = 2|BH| = |AB|\sqrt{3}$.
• Katlamadan dolayı $|KB| = |AB|$.
• Verilen $|KC| = 4$ birim.
• $|BC| = |KB| + |KC| = |AB| + 4$.
• Bu iki ifadeyi eşitleyelim: $|AB|\sqrt{3} = |AB| + 4 \implies |AB|(\sqrt{3} - 1) = 4$.
• $|AB| = \frac{4}{\sqrt{3} - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 2(\sqrt{3} + 1)$.
• $|BC| = |AB| + 4 = 2(\sqrt{3} + 1) + 4 = 2\sqrt{3} + 2 + 4 = 2\sqrt{3} + 6$.

BD, $\widehat{ABC}$ açısının açıortayı olduğu için Açıortay Teoremi'ni uygulayabiliriz:

• $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|BC|}$.
• $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3} + 6} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2(\sqrt{3} + 3)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 3}$.
• $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 3} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 1}{3\sqrt{3} - 3 + 9 - 3\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. (Hata var, tekrar hesaplayalım)
• $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 3} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
• Yani $\frac{|AD|}{|DC|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Buradan $|DC| = |AD|\sqrt{3}$ elde ederiz.

Şimdi $\triangle KDC$ üçgenine odaklanalım:

• $|KD| = |AD|$ (katlamadan dolayı). $|AD| = x$ dersek, $|KD| = x$.
• $|KC| = 4$ (verilen).
• $|DC| = x\sqrt{3}$ (yukarıda bulduk).
• $m(\widehat{KCD}) = m(\widehat{ACB}) = 30^\circ$.

$\triangle KDC$ üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım:

• $|KD|^2 = |KC|^2 + |DC|^2 - 2|KC||DC|\cos 30^\circ$.
• $x^2 = 4^2 + (x\sqrt{3})^2 - 2(4)(x\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
• $x^2 = 16 + 3x^2 - 8x\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
• $x^2 = 16 + 3x^2 - 4x(3)$.
• $x^2 = 16 + 3x^2 - 12x$.
• $0 = 2x^2 - 12x + 16$.
• Denklemi 2'ye bölelim: $x^2 - 6x + 8 = 0$.
• Çarpanlara ayıralım: $(x - 2)(x - 4) = 0$.
• Buradan $x = 2$ veya $x = 4$ bulunur.

Hangi değerin doğru olduğunu kontrol edelim. $\triangle DBC$ üçgeninde açıları biliyoruz: $m(\widehat{DBC}) = 15^\circ$, $m(\widehat{DCB}) = 30^\circ$. Dolayısıyla $m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 15^\circ - 30^\circ = 135^\circ$.

Sinüs Teoremi'ni $\triangle DBC$'ye uygulayalım:

• $\frac{|DC|}{\sin 15^\circ} = \frac{|BC|}{\sin 135^\circ}$.
• $|DC| = |BC| \frac{\sin 15^\circ}{\sin 135^\circ}$.
• $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
• $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $|BC| = 2\sqrt{3} + 6$.
• $|DC| = (2\sqrt{3} + 6) \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = (2\sqrt{3} + 6) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = (2\sqrt{3} + 6) \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
• $|DC| = (\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 1) = 3 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3}$.

Daha önce $|DC| = |AD|\sqrt{3}$ bulmuştuk. $|AD| = x$ olduğu için $|DC| = x\sqrt{3}$.

• $x\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \implies x = 2$.

Bu, $|AD|$ için bulduğumuz $x=2$ değerini doğrular.

Cevap D seçeneğidir.