Sorunun Çözümü
- Koordinat sistemini kuralım. C noktasını orijin $(0,0)$ olarak alalım.
- $DC \perp BC$ olduğu için, BC kenarı x-ekseni üzerinde, DC kenarı ise y-ekseni üzerinde yer alır.
- $|BC| = 4$ cm verildiği için B noktasının koordinatları $(4,0)$ olur.
- $|DC| = x$ verildiği için D noktasının koordinatları $(0,x)$ olur.
- A noktasının koordinatları $(x_A, y_A)$ olsun.
- D noktası AB doğru parçası üzerinde ve $|AD| = 2|BD|$ olduğu için, D noktası AB doğru parçasını A'dan 2, B'den 1 oranında böler. Yani $D = \frac{1 \cdot A + 2 \cdot B}{1+2}$ formülünü kullanabiliriz.
- Koordinatları yerine yazalım: $(0,x) = \frac{1 \cdot (x_A, y_A) + 2 \cdot (4,0)}{3}$. Bu da $(0,x) = (\frac{x_A+8}{3}, \frac{y_A}{3})$ demektir.
- Koordinatları eşitleyerek $x_A$ ve $y_A$ değerlerini bulalım:
- $0 = \frac{x_A+8}{3} \implies x_A+8 = 0 \implies x_A = -8$.
- $x = \frac{y_A}{3} \implies y_A = 3x$.
- Böylece A noktasının koordinatları $(-8, 3x)$ olarak bulunur.
- $|AC| = 10$ cm verildiği için, A ve C noktaları arasındaki uzaklık formülünü kullanalım: $|AC|^2 = (x_A-0)^2 + (y_A-0)^2$.
- Değerleri yerine yazalım: $10^2 = (-8)^2 + (3x)^2$.
- $100 = 64 + 9x^2$.
- Denklemi çözelim: $9x^2 = 100 - 64 \implies 9x^2 = 36 \implies x^2 = 4$.
- Uzunluk pozitif olacağından $x = 2$ cm bulunur.
- Doğru Seçenek B'dır.