Sorunun Çözümü
- $\triangle ABC$ ikizkenar üçgen olduğundan ($|AB|=|AC|$) ve $AH \perp BC$ olduğundan, $AH$ aynı zamanda kenarortaydır. Bu durumda $H$, $BC$ kenarının orta noktasıdır.
- Dolayısıyla $|BH| = |HC|$ olur. $|HC| = 12$ cm verildiği için $|BH| = 12$ cm'dir.
- $|AC|$ uzunluğunu bulalım: $|AC| = |AE| + |EC| = 11 + 9 = 20$ cm.
- $\triangle AHC$ bir dik üçgendir ($AH \perp BC$). Pisagor teoremini kullanarak $|AH|$ uzunluğunu bulalım: `$|AH|^2 + |HC|^2 = |AC|^2$` $\implies$ `$|AH|^2 + 12^2 = 20^2$` $\implies$ `$|AH|^2 + 144 = 400$` $\implies$ `$|AH|^2 = 256$` $\implies$ `$|AH| = 16$ cm`.
- $\triangle DEC$ ve $\triangle AHC$ üçgenleri benzerdir. Çünkü her ikisi de dik üçgendir ($DE \perp AC$ ve $AH \perp BC$) ve $\angle C$ açısı ortaktır (A.A. Benzerliği).
- Benzerlik oranını kullanarak $|DC|$ uzunluğunu bulalım: `$\frac{|EC|}{|HC|} = \frac{|DC|}{|AC|}$`.
- Verilen değerleri yerine yazalım: `$\frac{9}{12} = \frac{|DC|}{20}$`.
- Denklemi çözelim: `$12 \times |DC| = 9 \times 20$` $\implies$ `$12 \times |DC| = 180$` $\implies$ `$|DC| = \frac{180}{12} = 15$ cm`.
- Şekle göre $D$ noktası $B$ ile $H$ arasındadır. Bu durumda $|DC| = |DH| + |HC|$ olur.
- $15 = |DH| + 12$ $\implies$ $|DH| = 15 - 12 = 3$ cm.
- Son olarak, $|BD| = x$ değerini bulalım. $|BH| = |BD| + |DH|$ olduğundan, `$12 = x + 3$`.
- $x = 12 - 3 = 9$ cm.
- Doğru Seçenek D'dır.