Sorunun Çözümü
- Üçgen $ADE$ dik üçgendir ($DE \perp AC$).
- Pisagor Teoremi'nden $|AD|^2 = |AE|^2 + |DE|^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$. Buradan $|AD| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} cm$.
- Verilen $|AD| = 3|BD|$ eşitliğinden, $3\sqrt{13} = 3|BD|$, yani $|BD| = \sqrt{13} cm$.
- $B$ noktasından $AC$ doğrusuna $BF$ dikmesini çizelim. ($BF \perp AC$). Bu durumda $DE \parallel BF$ olur.
- $\triangle ADE$ ile $\triangle ABF$ benzerdir. Benzerlik oranı $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AD|+|BD|} = \frac{3\sqrt{13}}{3\sqrt{13}+\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{4\sqrt{13}} = \frac{3}{4}$'tür.
- Benzerlikten $\frac{|AE|}{|AF|} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{9}{|AF|} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3|AF| = 36 \Rightarrow |AF| = 12 cm$.
- $|EF| = |AF| - |AE| = 12 - 9 = 3 cm$.
- Benzerlikten $\frac{|DE|}{|BF|} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{6}{|BF|} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3|BF| = 24 \Rightarrow |BF| = 8 cm$.
- Üçgen $BFC$ dik üçgendir ($BF \perp AC$).
- Pisagor Teoremi'nden $|BC|^2 = |BF|^2 + |FC|^2 \Rightarrow 10^2 = 8^2 + |FC|^2 \Rightarrow 100 = 64 + |FC|^2 \Rightarrow |FC|^2 = 36 \Rightarrow |FC| = 6 cm$.
- $|EC| = x = |EF| + |FC| = 3 + 6 = 9 cm$.
- Doğru Seçenek E'dır.