Bu problem, benzer üçgenler ve oranlar kullanılarak çözülebilir. Verilen bilgilere göre AB ve CD doğruları birbirine paraleldir.

• Benzer Üçgenleri Belirleme:

  AB // CD olduğundan, karşılıklı açılar eşittir ve bu durum benzer üçgenler oluşturur:

  • $\triangle AGE \sim \triangle CFE$ (Açı-Açı benzerliği)
  • $\triangle BGE \sim \triangle DFE$ (Açı-Açı benzerliği)
  • $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ (Açı-Açı benzerliği)
• Oranları Kullanma:

  Verilen $|AG| = 2 \cdot |FC|$ bilgisini $\triangle AGE \sim \triangle CFE$ benzerliğinde kullanalım:

  $$\frac{|AG|}{|FC|} = \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|GE|}{|FE|}$$

  Yerine yazarsak:

  $$\frac{2 \cdot |FC|}{|FC|} = \frac{|AE|}{|CE|} \implies \frac{|AE|}{|CE|} = 2$$

• Diğer Benzer Üçgenlerle İlişkilendirme:

  Şimdi $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ benzerliğini düşünelim. Bu benzerlikten şu oranlar elde edilir:

  $$\frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|CD|}$$

  Yukarıda bulduğumuz $\frac{|AE|}{|CE|} = 2$ oranını kullanarak:

  $$\frac{|BE|}{|DE|} = 2$$

• Sonuca Ulaşma:

  Son olarak, $\triangle BGE \sim \triangle DFE$ benzerliğini kullanalım. Bu benzerlikten şu oran elde edilir:

  $$\frac{|BG|}{|DF|} = \frac{|BE|}{|DE|} = \frac{|GE|}{|FE|}$$

  Bilinen değerleri yerine yazalım: $|BG| = x$ ve $|DF| = 6$ cm. Ayrıca $\frac{|BE|}{|DE|} = 2$ olduğunu biliyoruz.

  $$\frac{x}{6} = 2$$

  Denklemi çözerek $x$ değerini buluruz:

  $$x = 2 \cdot 6$$

  $$x = 12$$

Buna göre, $|BG|$ uzunluğu 12 cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.