Adım 1: Üçgen ADC'de Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak \(\cos(\angle C)\) değerini bulalım.

• Verilenler: \(|AD| = |AC| = 3\) cm ve \(|DC| = 1\) cm.
• Kosinüs Teoremi'ne göre: \(AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle C)\)
• Değerleri yerine yazarsak: \(3^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos(\angle C)\)
• \(9 = 9 + 1 - 6 \cos(\angle C)\)
• \(0 = 1 - 6 \cos(\angle C)\)
• Buradan \(6 \cos(\angle C) = 1 \implies \cos(\angle C) = \frac{1}{6}\) bulunur.

Adım 2: Üçgen ABC'de Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak \(|BC|\) uzunluğunu bulalım.

• Verilenler: ABC ikizkenar üçgen olduğundan \(|AB| = |BC|\). \(|AC| = 3\) cm.
• \(|BC|\) uzunluğuna \(y\) diyelim. Yani \(|AB| = |BC| = y\).
• Kosinüs Teoremi'ni \(AB\) kenarı için uygulayalım: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)\)
• Değerleri yerine yazarsak: \(y^2 = 3^2 + y^2 - 2 \cdot 3 \cdot y \cdot \cos(\angle C)\)
• \(y^2 = 9 + y^2 - 6y \cos(\angle C)\)
• \(0 = 9 - 6y \cos(\angle C)\)
• Buradan \(6y \cos(\angle C) = 9 \implies y \cos(\angle C) = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) bulunur.

Adım 3: Bulduğumuz \(\cos(\angle C)\) değerini kullanarak \(y\) uzunluğunu hesaplayalım.

• Adım 1'den \(\cos(\angle C) = \frac{1}{6}\) olduğunu biliyoruz.
• Adım 2'den \(y \cos(\angle C) = \frac{3}{2}\) olduğunu biliyoruz.
• Değeri yerine koyalım: \(y \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2}\)
• \(y = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9\) cm.
• Yani \(|BC| = 9\) cm'dir.

Adım 4: \(|BD|\) uzunluğunu (\(x\)) hesaplayalım.

• \(|BC| = |BD| + |DC|\) olduğunu biliyoruz.
• Değerleri yerine koyalım: \(9 = x + 1\)
• \(x = 9 - 1 = 8\) cm.

Cevap B seçeneğidir.