Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Köşelerin Koordinatlarını Belirleyelim:

  Şekildeki dik açılar ve uzunluklar kullanılarak köşelere koordinat atayabiliriz. C noktasını orijin (0,0) olarak alalım:

  • C = (0,0)
  • |BC| = 9 cm ve AB ⊥ BC, DC ⊥ BC olduğu için B noktası x ekseni üzerinde olacaktır: B = (9,0)
  • |DC| = 4 cm ve DC ⊥ BC olduğu için D noktası y ekseni üzerinde olacaktır: D = (0,4)
  • AB ⊥ BC olduğu için A noktasının x koordinatı B ile aynı, yani 9 olacaktır. |AB| uzunluğuna 'h' diyelim. O zaman A = (9, h)
  • ED ⊥ DC olduğu için E noktasının y koordinatı D ile aynı, yani 4 olacaktır. |ED| uzunluğuna 'h' diyelim (çünkü |AB| = |ED|). E noktasının x koordinatı, D'den uzaklığı 'h' olduğu için 'h' olacaktır: E = (h, 4)
• 2. A, E, C Noktalarının Doğrusal Olması Durumunu Kullanma:

  Şekilde E noktasının AC doğru parçası üzerinde olduğu görülmektedir. Bu durumda A, E ve C noktaları doğrusaldır. Doğrusal noktaların eğimleri eşittir.

  • AC doğrusunun eğimi ($m_{AC}$): $m_{AC} = \frac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \frac{h - 0}{9 - 0} = \frac{h}{9}$
  • EC doğrusunun eğimi ($m_{EC}$): $m_{EC} = \frac{y_E - y_C}{x_E - x_C} = \frac{4 - 0}{h - 0} = \frac{4}{h}$
  • Doğrusal oldukları için eğimler eşittir: $m_{AC} = m_{EC}$
  • $\frac{h}{9} = \frac{4}{h}$
  • $h^2 = 9 \times 4$
  • $h^2 = 36$
  • $h = 6$ (Uzunluk pozitif olmalıdır)
• 3. A ve E Noktalarının Kesin Koordinatlarını Bulma:

  h = 6 değerini yerine koyarsak:

  • A = (9, h) = (9, 6)
  • E = (h, 4) = (6, 4)
• 4. |AE| Uzunluğunu Hesaplama:

  İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak |AE| = x uzunluğunu bulalım:

  $$x = \sqrt{(x_A - x_E)^2 + (y_A - y_E)^2}$$ $$x = \sqrt{(9 - 6)^2 + (6 - 4)^2}$$ $$x = \sqrt{3^2 + 2^2}$$ $$x = \sqrt{9 + 4}$$ $$x = \sqrt{13}$$

Buna göre, |AE| = x uzunluğu $\sqrt{13}$ cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.