Verilen bilgilere göre:

• \(EA \perp AC\), \(DC \perp AC\), \(EB \perp BD\).

• Uzunluklar: \(|AE| = x\), \(|AB| = 2x\), \(|BC| = 2x - 1\), \(|DC| = 3x + 1\).

Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleme

• A noktasını orijin \((0,0)\) olarak kabul edelim.

• AC doğrusu x-ekseni üzerinde olduğundan, diğer noktaların koordinatları şu şekilde belirlenir:

  • E noktası: \(A\) noktasında dik olduğu için \(E(0, x)\).

  • B noktası: \(A\) noktasından \(2x\) birim uzakta olduğu için \(B(2x, 0)\).

  • C noktası: \(B\) noktasından \(2x-1\) birim uzakta olduğu için \(C(2x + (2x-1), 0) = C(4x-1, 0)\).

  • D noktası: \(C\) noktasında dik olduğu için \(D(4x-1, 3x+1)\).

Adım 2: EB ve BD doğrularının eğimlerini hesaplama

• EB doğrusunun eğimi (\(m_{EB}\)):

  \(m_{EB} = \frac{y_B - y_E}{x_B - x_E} = \frac{0 - x}{2x - 0} = \frac{-x}{2x} = -\frac{1}{2}\)

• BD doğrusunun eğimi (\(m_{BD}\)):

  \(m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{(3x+1) - 0}{(4x-1) - 2x} = \frac{3x+1}{2x-1}\)

Adım 3: Diklik koşulunu kullanarak x değerini bulma

• \(EB \perp BD\) olduğu için, bu iki doğrunun eğimleri çarpımı -1 olmalıdır:

  \(m_{EB} \cdot m_{BD} = -1\)

  \((-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{3x+1}{2x-1}) = -1\)

• Denklemi basitleştirelim:

  \(\frac{-(3x+1)}{2(2x-1)} = -1\)

  \(\frac{3x+1}{2(2x-1)} = 1\)

• İçler dışlar çarpımı yapalım:

  \(3x+1 = 2(2x-1)\)

  \(3x+1 = 4x-2\)

• \(1+2 = 4x-3x\)

  \(3 = x\)

Adım 4: BC uzunluğunu hesaplama

• \(x = 3\) değerini \(|BC|\) ifadesinde yerine koyalım:

  \(|BC| = 2x - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5\)

Cevap C seçeneğidir.