Verilen bilgilere göre, ABC bir eşkenar üçgendir. Bu durumda tüm iç açıları $60^\circ$ ve tüm kenar uzunlukları eşittir.

• 1. Eşkenar Üçgenin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  Eşkenar üçgenin bir kenarı olan $|BC|$ uzunluğunu bulalım:

  $$|BC| = |BE| + |EC| = 5 \text{ br} + 6 \text{ br} = 11 \text{ br}$$

  ABC eşkenar üçgen olduğundan, tüm kenar uzunlukları $11$ br'dir: $|AB| = |AC| = |BC| = 11 \text{ br}$.

• 2. Üçgenlerdeki Açıları Belirleme ve Benzerlik Kurma:

  Eşkenar üçgenin açılarından $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 60^\circ$ olduğunu biliyoruz.

  $\triangle BDE$ üçgeninde $m(\widehat{B}) = 60^\circ$. $m(\widehat{BDE}) = \alpha$ diyelim. Bu durumda $m(\widehat{BED}) = 180^\circ - 60^\circ - \alpha = 120^\circ - \alpha$ olur.

  E noktasındaki doğru açı $180^\circ$ olduğundan:

  $$m(\widehat{BED}) + m(\widehat{DEF}) + m(\widehat{FEC}) = 180^\circ$$

  $$(120^\circ - \alpha) + 60^\circ + m(\widehat{FEC}) = 180^\circ$$

  $$180^\circ - \alpha + m(\widehat{FEC}) = 180^\circ$$

  Buradan $m(\widehat{FEC}) = \alpha$ bulunur.

  Şimdi $\triangle CEF$ üçgenine bakalım:

  • $m(\widehat{C}) = 60^\circ$
  • $m(\widehat{FEC}) = \alpha$
  • $m(\widehat{CFE}) = 180^\circ - 60^\circ - \alpha = 120^\circ - \alpha$

  Buna göre, $\triangle BDE$ ve $\triangle CEF$ üçgenlerinin açıları sırasıyla $(60^\circ, \alpha, 120^\circ - \alpha)$ olduğundan bu iki üçgen benzerdir ($\triangle BDE \sim \triangle CEF$).

• 3. Benzerlik Oranını Kullanarak $|BD|$ Uzunluğunu Bulma:

  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Açıların karşısındaki kenarları eşleştirelim:

  • $m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ$
  • $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{FEC}) = \alpha$
  • $m(\widehat{BED}) = m(\widehat{CFE}) = 120^\circ - \alpha$

  Bu durumda benzerlik oranı şu şekildedir:

  $$\frac{|BD|}{|CE|} = \frac{|DE|}{|EF|} = \frac{|BE|}{|CF|}$$

  Verilen uzunlukları yerine yazalım:

  $$|BE| = 5 \text{ br}$$

  $$|EC| = 6 \text{ br}$$

  $$|CF| = 4 \text{ br}$$

  İlk iki oranı kullanarak $|BD|$'yi bulalım:

  $$\frac{|BD|}{6} = \frac{5}{4}$$

  $$|BD| = \frac{5 \times 6}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ br}$$

• 4. $|AD| = x$ Uzunluğunu Bulma:

  Eşkenar üçgenin kenar uzunluğu $|AB| = 11 \text{ br}$ idi. $|AB|$ kenarı $|AD|$ ve $|DB|$ parçalarından oluşur:

  $$|AB| = |AD| + |DB|$$

  $$11 = x + 7.5$$

  $$x = 11 - 7.5$$

  $$x = 3.5 \text{ br}$$

Cevap A seçeneğidir.