Verilen bilgilere göre:
- \(m(\widehat{BAC}) = 115^\circ\)
- \(m(\widehat{DAE}) = 50^\circ\)
- \(|AD| = |AE|\)
- \(|BD| = 3\) cm
- \(|EC| = 8\) cm
Adım 1: \(\triangle ADE\) üçgenindeki açıları bulalım.
\(|AD| = |AE|\) olduğu için \(\triangle ADE\) ikizkenar üçgendir. Tepe açısı \(m(\widehat{DAE}) = 50^\circ\)'dir. Taban açıları eşit olacağından:
\(m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ\).
Adım 2: D ve E noktalarındaki dış açıları bulalım.
\(m(\widehat{ADB})\) açısı, \(m(\widehat{ADE})\) açısının bütünleridir:
\(m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - m(\widehat{ADE}) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Benzer şekilde, \(m(\widehat{AEC})\) açısı, \(m(\widehat{AED})\) açısının bütünleridir:
\(m(\widehat{AEC}) = 180^\circ - m(\widehat{AED}) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Adım 3: Üçgenler arasındaki benzerliği tespit edelim.
Dikkat ederseniz, \(m(\widehat{BAC}) = 115^\circ\), \(m(\widehat{ADB}) = 115^\circ\) ve \(m(\widehat{AEC}) = 115^\circ\). Bu durum, \(\triangle ABD\) ve \(\triangle CAE\) üçgenleri arasında bir benzerlik olabileceğini düşündürür.
\(\triangle ABD\) ve \(\triangle CAE\) üçgenlerinin açılarını inceleyelim:
- \(m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{CEA}) = 115^\circ\) (Birinci açı çifti eşit)
Şimdi diğer açıları kontrol edelim. \(m(\widehat{BAD}) = \alpha\) ve \(m(\widehat{EAC}) = \beta\) diyelim.
\(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAE}) + m(\widehat{EAC})\) olduğundan:
\(115^\circ = \alpha + 50^\circ + \beta \implies \alpha + \beta = 65^\circ\).
\(\triangle ABD\) üçgeninde \(m(\widehat{ABD}) = 180^\circ - m(\widehat{BAD}) - m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - \alpha - 115^\circ = 65^\circ - \alpha\).
\(\triangle CAE\) üçgeninde \(m(\widehat{ACE}) = 180^\circ - m(\widehat{EAC}) - m(\widehat{AEC}) = 180^\circ - \beta - 115^\circ = 65^\circ - \beta\).
Benzerlik için kalan açı çiftlerinin eşit olması gerekir:
- \(m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ACE}) \implies \alpha = 65^\circ - \beta \implies \alpha + \beta = 65^\circ\). (Bu doğru)
- \(m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{CAE}) \implies 65^\circ - \alpha = \beta \implies \alpha + \beta = 65^\circ\). (Bu da doğru)
Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre, \(\triangle ABD \sim \triangle CAE\) üçgenleri benzerdir.
Adım 4: Benzerlik oranını kullanarak \(|AE|\) uzunluğunu bulalım.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\(|BD| / |AE| = |AD| / |CE|\)
Verilen değerleri yerine yazalım. \(|AD| = |AE| = x\) diyelim:
\(3 / x = x / 8\)
İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\)'i bulalım:
\(x^2 = 3 \times 8\)
\(x^2 = 24\)
\(x = \sqrt{24}\)
\(x = \sqrt{4 \times 6}\)
\(x = 2\sqrt{6}\) cm.
Cevap A seçeneğidir.