Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir çünkü \(|AB| = |AC|\). Bu durumda taban açıları eşittir: \(m(\hat{B}) = m(\hat{C})\).

• Adım 1: Açıları belirleyelim.
  • \(m(\hat{B}) = m(\hat{C})\) (İkizkenar üçgenin taban açıları)
  • \(m(\hat{BDE}) = m(\hat{CEF})\) (Verilmiş)
• Adım 2: Üçgenlerin benzerliğini tespit edelim.
  • \(\triangle BDE\) ve \(\triangle CEF\) üçgenlerinde ikişer açının eşit olduğunu görüyoruz:
    • \(m(\hat{B}) = m(\hat{C})\)
    • \(m(\hat{BDE}) = m(\hat{CEF})\)
  • Bu durumda, üçüncü açılar da eşit olmak zorundadır: \(m(\hat{BED}) = m(\hat{CFE})\).
  • Dolayısıyla, \(\triangle BDE \sim \triangle CEF\) (Açı-Açı-Açı benzerliği).
• Adım 3: Benzerlik oranını yazalım.
  • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[\frac{|BD|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|CF|}\]
  • Verilen değerleri yerine yazalım:
    • \(|BD| = 3\sqrt{3}\)
    • \(|CF| = 2\sqrt{3}\)
    • \(|CE| = x\)
    • \(|BE|\) değerini henüz bilmiyoruz, \(|BE| = y\) diyelim.
  • Denklemimiz şu şekilde olur: \[\frac{3\sqrt{3}}{x} = \frac{y}{2\sqrt{3}}\]
  • İçler dışlar çarpımı yaparak: \[xy = (3\sqrt{3})(2\sqrt{3})\] \[xy = 6 \times 3\] \[xy = 18\]
• Adım 4: \(|BC|\) uzunluğunu kullanalım.
  • \(|BC| = |BE| + |EC|\)
  • \(11 = y + x\)
  • Buradan \(y = 11 - x\) elde ederiz.
• Adım 5: Denklemleri birleştirelim ve x'i bulalım.
  • \(y = 11 - x\) ifadesini \(xy = 18\) denkleminde yerine yazalım: \[x(11 - x) = 18\] \[11x - x^2 = 18\] \[x^2 - 11x + 18 = 0\]
  • Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \[(x - 2)(x - 9) = 0\]
  • Buradan iki olası çözüm çıkar: \(x = 2\) veya \(x = 9\).
• Adım 6: Verilen koşulu kontrol edelim.
  • Soruda \(|EC| > |BE|\) koşulu verilmiştir.
    • Eğer \(x = 2\) ise, \(|EC| = 2\). Bu durumda \(y = 11 - 2 = 9\), yani \(|BE| = 9\). Bu durumda \(|EC| < |BE|\) olur, ki bu koşulu sağlamaz.
    • Eğer \(x = 9\) ise, \(|EC| = 9\). Bu durumda \(y = 11 - 9 = 2\), yani \(|BE| = 2\). Bu durumda \(|EC| > |BE|\) olur, ki bu koşulu sağlar.
  • Dolayısıyla, \(x\) değeri 9 olmalıdır.

Cevap E seçeneğidir.