Verilen bilgilere göre, ABC ve DEF birer üçgendir. Kenar uzunlukları $|DE| = 7$ cm, $|EF| = 5$ cm ve $|DF| = 6$ cm'dir. Ayrıca, $[DE] // [BC]$ ve $[EF] // [AB]$ paralellikleri verilmiştir. ABC üçgeninin çevresi 54 cm olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• Paralelliklerden Çıkarılan Açı İlişkileri:

  Üçgenlerin açılarını $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$ olarak adlandıralım.

  • $[DE] // [BC]$ olduğundan, $DF$ kesenine göre iç ters açılar $\angle FDE = \angle DFB$ olur.
  • $[EF] // [AB]$ olduğundan, $DF$ kesenine göre iç ters açılar $\angle DFB = \angle A = \alpha$ olur.
  • Bu durumda, $\angle FDE = \alpha$ bulunur.
  • $[DE] // [BC]$ ve $[EF] // [AB]$ olduğundan, BDFE dörtgeni bir paralelkenardır.
  • Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan, $\angle DEF = \angle B = \beta$ olur.
  • DEF üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle DFE = 180^\circ - (\angle FDE + \angle DEF) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$ olur.
  • ABC üçgeninde $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ olduğundan, $180^\circ - (\alpha + \beta) = \gamma$ olur.
  • Dolayısıyla, $\angle DFE = \gamma$ bulunur.
• Üçgenlerin Benzerliği:

  DEF üçgeninin açıları $(\alpha, \beta, \gamma)$ ve ABC üçgeninin açıları $(\alpha, \beta, \gamma)$ olduğundan, bu iki üçgen benzerdir. Açı eşleşmeleri şöyledir:

  • $\angle FDE = \angle A = \alpha$
  • $\angle DEF = \angle B = \beta$
  • $\angle DFE = \angle C = \gamma$

  Bu durumda, $\triangle DFE \sim \triangle ABC$ benzerliği vardır.

• Benzerlik Oranı ve Kenar Uzunlukları:

  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

  $$ \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{|FE|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|AB|} $$

  Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:

  $$ \frac{6}{|AC|} = \frac{5}{|BC|} = \frac{7}{|AB|} $$

  Buradan $|AC| = b$, $|BC| = a$, $|AB| = c$ dersek:

  $$ \frac{6}{b} = \frac{5}{a} = \frac{7}{c} $$

  Bu oranlardan $a$ ve $c$ kenarlarını $b$ cinsinden ifade edebiliriz:

  • $\frac{5}{a} = \frac{6}{b} \implies a = \frac{5b}{6}$
  • $\frac{7}{c} = \frac{6}{b} \implies c = \frac{7b}{6}$
• Çevre Bilgisini Kullanma:

  ABC üçgeninin çevresi $a+b+c = 54$ cm olarak verilmiştir. $a$ ve $c$ değerlerini yerine yazalım:

  $$ \frac{5b}{6} + b + \frac{7b}{6} = 54 $$

  Ortak paydaya getirerek toplayalım:

  $$ \frac{5b + 6b + 7b}{6} = 54 $$

  $$ \frac{18b}{6} = 54 $$

  $$ 3b = 54 $$

  Her iki tarafı 3'e bölelim:

  $$ b = \frac{54}{3} $$

  $$ b = 18 $$

  Böylece $|AC|$ uzunluğu 18 cm olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.