Sorunun Çözümü
Verilen bilgilere göre,
- $\triangle ABC$ ve $\triangle DEC$ birer dik üçgendir.
- $[AB] \perp [BE]$ ve $[BE] \perp [DE]$ olduğundan, $AB$ doğrusu $DE$ doğrusuna paraleldir ($AB \parallel DE$).
- $[AK]$ açısı $\angle BAC$'nin açıortayıdır.
- $[DN]$ açısı $\angle EDC$'nin açıortayıdır.
- $|AB| = 10$ cm ve $|DE| = 6$ cm'dir.
Şimdi adım adım çözüme geçelim:
- Benzer Üçgenleri Belirleme:
- $\triangle ABC$ ve $\triangle EDC$ üçgenlerini inceleyelim.
- $\angle ABC = 90^\circ$ (çünkü $[AB] \perp [BE]$).
- $\angle DEC = 90^\circ$ (çünkü $[DE] \perp [BE]$).
- $\angle ACB$ ve $\angle DCE$ ters açılar olduğundan, $\angle ACB = \angle DCE$'dir.
- İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir (A.A. Benzerlik Kuralı). Bu durumda, $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ benzerdir.
- Benzerlikten dolayı, karşılıklı açılar eşittir: $\angle BAC = \angle EDC$.
- Açıortayların Özelliğini Kullanma:
- $\angle BAC = \angle EDC$ olduğunu bulduk.
- $[AK]$, $\angle BAC$'nin açıortayı olduğundan $\angle BAK = \frac{1}{2} \angle BAC$'dir.
- $[DN]$, $\angle EDC$'nin açıortayı olduğundan $\angle EDN = \frac{1}{2} \angle EDC$'dir.
- $\angle BAC = \angle EDC$ olduğu için, $\angle BAK = \angle EDN$ olur.
- Küçük Üçgenlerin Benzerliğini Kanıtlama:
- Şimdi $\triangle ABK$ ve $\triangle EDN$ üçgenlerini inceleyelim.
- $\angle ABK = 90^\circ$ (çünkü $[AB] \perp [BE]$).
- $\angle DEN = 90^\circ$ (çünkü $[DE] \perp [BE]$).
- $\angle BAK = \angle EDN$ olduğunu yukarıda gösterdik.
- Bu durumda, $\triangle ABK \sim \triangle EDN$ (A.A. Benzerlik Kuralı).
- Oranı Hesaplama:
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Ayrıca, karşılıklı açıortayların oranları da karşılıklı kenarların oranlarına eşittir.
- Dolayısıyla, $\frac{|AK|}{|DN|} = \frac{|AB|}{|ED|}$'dir.
- Verilen değerleri yerine yazarsak: $\frac{|AK|}{|DN|} = \frac{10}{6}$.
- Sadeleştirme yaparsak: $\frac{|AK|}{|DN|} = \frac{5}{3}$.
Cevap C seçeneğidir.