Verilen bilgilere göre $ABC$ üçgeni ve $D$ noktasını içeren şekli inceleyelim.

• $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCB}) = \alpha$
• $|AB| = 12$ birim
• $|DC| = 12$ birim
• $|BC| = 9$ birim
• $|AC| = 16$ birim
• $|BD| = x$ birim

Bu tür sorularda genellikle benzer üçgenler veya kosinüs teoremi kullanılır. Açı eşitliği verildiği için benzerlik arayalım.

Adım 1: Benzer üçgenleri belirleme

Verilen $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCB}) = \alpha$ eşitliğini kullanarak $\triangle ABC$ ve $\triangle CBD$ üçgenleri arasında benzerlik olup olmadığını kontrol edelim.

• $\triangle ABC$'de $\angle A = \alpha$
• $\triangle CBD$'de $\angle C$ (yani $\angle BCD$) $= \alpha$

Bu iki üçgenin birer açısı eşittir. Şimdi kenar oranlarını kontrol edelim:

Eğer $\triangle ABC \sim \triangle CBD$ ise, karşılıklı kenarların oranları eşit olmalıdır:

$$\frac{|AB|}{|CB|} = \frac{|BC|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|CD|}$$

Adım 2: Kenar uzunluklarını oranlara yerleştirme

Verilen kenar uzunluklarını bu oranlara yerleştirelim:

• $|AB| = 12$
• $|BC| = 9$
• $|AC| = 16$
• $|CD| = 12$
• $|BD| = x$

Oranlar şu şekilde olur:

$$\frac{12}{9} = \frac{9}{x} = \frac{16}{12}$$

Adım 3: Benzerliği doğrulama

Oranların eşitliğini kontrol edelim:

• $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
• $\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Görüldüğü gibi, $\frac{12}{9} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$ olduğundan, benzerlik $\triangle ABC \sim \triangle CBD$ doğrudur.

Adım 4: $x$ değerini bulma

Şimdi $x$ değerini bulmak için oranların herhangi birini kullanabiliriz:

$$\frac{9}{x} = \frac{4}{3}$$

İçler dışlar çarpımı yaparak $x$'i çözelim:

$$4x = 9 \times 3$$

$$4x = 27$$

$$x = \frac{27}{4}$$

Buna göre, $|BD|$ uzunluğu $\frac{27}{4}$ birimdir.