Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde \(m(\widehat{AEB}) = m(\widehat{BDA})\) olarak verilmiştir. Bu açıya \(\alpha\) diyelim.

• Öncelikle, verilen açıları kullanarak diğer açıları bulalım:
  • \(m(\widehat{AEB}) = \alpha\) ise, onun bütünler açısı olan \(m(\widehat{AEC}) = 180^\circ - \alpha\) olur.
  • \(m(\widehat{BDA}) = \alpha\) ise, onun bütünler açısı olan \(m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - \alpha\) olur.
  Bu durumda, \(m(\widehat{AEC}) = m(\widehat{BDC})\) olduğunu görürüz. Bu açıya \(\beta\) diyelim.
• Şimdi, \(\triangle AEC\) ve \(\triangle BDC\) üçgenlerini inceleyelim:
  • Her iki üçgende de \(\angle C\) açısı ortaktır.
  • Yukarıda bulduğumuz gibi, \(m(\widehat{AEC}) = m(\widehat{BDC}) = \beta\).
  İki açısı eşit olduğundan, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre \(\triangle AEC \sim \triangle BDC\) üçgenleri benzerdir.
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Kenar uzunluklarını yerine yazalım:
  • \(|AD| = 4\) cm ve \(|CD| = 6\) cm olduğundan, \(|AC| = |AD| + |CD| = 4 + 6 = 10\) cm.
  • \(|BE| = 7\) cm ve \(|EC| = x\) olduğundan, \(|BC| = |BE| + |EC| = 7 + x\) cm.
  • \(|DC| = 6\) cm.
  • \(|EC| = x\) cm.
  Benzerlik oranını yazarsak: \[ \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|EC|}{|DC|} \] Değerleri yerine koyalım: \[ \frac{10}{7+x} = \frac{x}{6} \]
• Denklemi çözerek \(x\) değerini bulalım: \[ 10 \times 6 = x \times (7+x) \] \[ 60 = 7x + x^2 \] Denklemi standart kuadratik formda yazalım: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \] Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -60 ve toplamları 7 olan iki sayı 12 ve -5'tir: \[ (x+12)(x-5) = 0 \] Buradan iki olası çözüm elde ederiz: \[ x = -12 \quad \text{veya} \quad x = 5 \]
• Uzunluk negatif olamayacağından, \(x\) değeri pozitif olmalıdır. Bu nedenle, \(x = 5\) cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.