Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde DEFG bir karedir.
|BD| = 5 cm ve |EC| = 20 cm olarak verilmiştir.
|AF| = x değerini bulmamız isteniyor.

• 1. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:

  DEFG bir kare olduğundan, tüm kenar uzunlukları eşittir. Karenin bir kenar uzunluğuna a diyelim. Yani |GD| = |DE| = |EF| = |FG| = a.

  \triangle BGD dik üçgeninde (D noktasında dik açı var):
  \tan B = \frac{|GD|}{|BD|} = \frac{a}{5}

  \triangle FEC dik üçgeninde (E noktasında dik açı var):
  \tan C = \frac{|EF|}{|EC|} = \frac{a}{20}

  \triangle ABC dik üçgen olduğundan (A noktasında dik açı var), \angle B + \angle C = 90^\circ'dir. Bu durumda \tan C = \cot B = \frac{1}{\tan B} ilişkisi geçerlidir.

  Bu ilişkiyi kullanarak a değerini bulalım:
  \frac{a}{20} = \frac{1}{a/5}
\frac{a}{20} = \frac{5}{a}
a^2 = 100
a = 10 cm (uzunluk negatif olamaz).

• 2. Benzer Üçgenleri Kullanarak x Değerini Bulma:

  DEFG bir kare olduğundan, FG kenarı BC kenarına paraleldir (FG || BC).
  Bu paralellikten dolayı \triangle AGF üçgeni ile \triangle ABC üçgeni benzerdir (\triangle AGF \sim \triangle ABC).

  \triangle ABC, A köşesinde dik açılı bir üçgen olduğundan, benzerlikten dolayı \triangle AGF de A köşesinde dik açılı bir üçgendir.

  Benzer üçgenlerde kenar oranları eşittir:
  \frac{|AF|}{|AC|} = \frac{|FG|}{|BC|}

  Gerekli uzunlukları hesaplayalım:

  • |FG| = a = 10 cm.
  • |BC| = |BD| + |DE| + |EC| = 5 + a + 20 = 5 + 10 + 20 = 35 cm.
  • |FC| uzunluğunu \triangle FEC dik üçgeninden Pisagor teoremi ile bulabiliriz:
    |FC|^2 = |EF|^2 + |EC|^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500
|FC| = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} cm.
  • |AC| = |AF| + |FC| = x + 10\sqrt{5}.

  Şimdi benzerlik oranlarını yerine yazalım:
  \frac{x}{x + 10\sqrt{5}} = \frac{10}{35}
  Oranı sadeleştirelim:
  \frac{x}{x + 10\sqrt{5}} = \frac{2}{7}

  İçler dışlar çarpımı yaparak x'i bulalım:
  7x = 2(x + 10\sqrt{5})
7x = 2x + 20\sqrt{5}
5x = 20\sqrt{5}
x = \frac{20\sqrt{5}}{5}
x = 4\sqrt{5} cm.

Cevap E seçeneğidir.