Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgen ve DEFG bir dikdörtgendir. Bu durumda:

• GD ve FE, BC tabanına diktir. Dolayısıyla, $\triangle BDG$ ve $\triangle FEC$ birer dik üçgendir.
• DEFG bir dikdörtgen olduğu için $|GD| = |FE|$'dir.

Şimdi benzer üçgenleri inceleyelim:

1. $\triangle BDG$ ve $\triangle FEC$ üçgenleri benzerdir.

• $\angle BDG = \angle FEC = 90^\circ$ (Dikdörtgenin kenarları tabana dik olduğu için).
• $\angle B$ ve $\angle C$ açıları $\triangle ABC$'nin dar açılarıdır ve toplamları $90^\circ$'dir.
• $\triangle BDG$'de $\angle BGD = 90^\circ - \angle B = \angle C$.
• $\triangle FEC$'de $\angle EFC = 90^\circ - \angle C = \angle B$.
• Bu durumda, $\triangle BDG \sim \triangle FEC$ (Açı-Açı benzerliği).

2. Benzerlik oranlarını yazalım:

• Verilen bilgi: $|BD| = 2 \cdot |EC|$.
• Let $|EC| = k$. Then $|BD| = 2k$.
• Let $|GD| = |FE| = h$ (dikdörtgenin yüksekliği).
• Benzer üçgenlerin kenar oranları eşittir: $$ \frac{|BD|}{|FE|} = \frac{|GD|}{|EC|} = \frac{|BG|}{|FC|} $$

3. Oranları yerine koyalım ve $h$ değerini bulalım:

• İlk iki oranı kullanarak: $$ \frac{2k}{h} = \frac{h}{k} $$ $$ h^2 = 2k^2 $$ $$ h = k\sqrt{2} $$

4. Şimdi istenen oranı bulalım:

• İkinci ve üçüncü oranları kullanarak: $$ \frac{|GD|}{|EC|} = \frac{|BG|}{|FC|} $$ $$ \frac{h}{k} = \frac{|BG|}{|FC|} $$
• Bulduğumuz $h = k\sqrt{2}$ değerini yerine koyalım: $$ \frac{k\sqrt{2}}{k} = \frac{|BG|}{|FC|} $$ $$ \sqrt{2} = \frac{|BG|}{|FC|} $$

Bu nedenle, $|BG| / |FC|$ oranı $\sqrt{2}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.