Verilen bilgilere göre, ABCD bir dikdörtgendir ve DF $\perp$ EC'dir. Ayrıca, |CF| = 6 cm, |EF| = 4 cm ve |AE| = 7 cm olarak verilmiştir. |EB| = x cm değerini bulmamız istenmektedir.

Çözüm adımları:

• 1. EC uzunluğunu bulun:
  EC doğru parçası, E ve C noktaları arasında yer alır ve F noktası bu doğru parçası üzerindedir. Bu nedenle, |EC| = |EF| + |CF| = 4 + 6 = 10 cm'dir.
• 2. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını tanımlayın:
  Dikdörtgenin kenar uzunluklarını kullanarak koordinat sisteminde noktaları belirleyelim. E noktasını orijin (0,0) olarak alalım.
  • A = (-7, 0) (Çünkü |AE|=7 ve E orijin)
  • B = (x, 0) (Çünkü |EB|=x ve E orijin)
  • C = (x, h) (Burada h = |BC| = |AD| dikdörtgenin yüksekliğidir)
  • D = (-7, h)
• 3. Pisagor Teoremi ile bir denklem oluşturun:
  $\triangle CBE$ bir dik üçgendir (çünkü ABCD dikdörtgen). Bu üçgende Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $|BC|^2 + |EB|^2 = |EC|^2$ $h^2 + x^2 = 10^2$ $h^2 + x^2 = 100$ (Denklem 1)
• 4. F noktasının koordinatlarını bulun:
  F noktası EC doğru parçası üzerindedir ve E noktasından 4 birim uzaklıktadır. E orijin olduğu için, F noktasının koordinatları $\vec{EF}$ vektörünün $\vec{EC}$ vektörünün bir oranı olarak bulunabilir: $F = E + \frac{|EF|}{|EC|} \vec{EC} = (0,0) + \frac{4}{10} (x,h) = \frac{2}{5}(x,h) = (\frac{2x}{5}, \frac{2h}{5})$
• 5. Diklik koşulunu (DF $\perp$ EC) kullanarak ikinci bir denklem oluşturun:
  İki vektörün dik olması, iç çarpımlarının sıfır olması anlamına gelir. $\vec{DF} \cdot \vec{EC} = 0$. Önce $\vec{DF}$ vektörünü bulalım: $\vec{DF} = F - D = (\frac{2x}{5} - (-7), \frac{2h}{5} - h) = (\frac{2x}{5} + 7, -\frac{3h}{5})$ $\vec{EC} = C - E = (x, h)$ Şimdi iç çarpımı hesaplayalım: $(\frac{2x}{5} + 7)x + (-\frac{3h}{5})h = 0$ $\frac{2x^2}{5} + 7x - \frac{3h^2}{5} = 0$ Denklemi 5 ile çarparak paydalardan kurtulalım: $2x^2 + 35x - 3h^2 = 0$ (Denklem 2)
• 6. Denklem sistemini çözün:
  Denklem 1'den $h^2 = 100 - x^2$ ifadesini Denklem 2'ye yerine koyalım: $2x^2 + 35x - 3(100 - x^2) = 0$ $2x^2 + 35x - 300 + 3x^2 = 0$ $5x^2 + 35x - 300 = 0$ Denklemi 5'e bölelim: $x^2 + 7x - 60 = 0$
• 7. x değerini bulun:
  Quadratic denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x + 12)(x - 5) = 0$ Bu denklemin iki çözümü vardır: $x = -12$ veya $x = 5$. Uzunluk negatif olamayacağı için, $x > 0$ olmalıdır. Bu nedenle, $x = 5$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.