Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Verilen Bilgileri Değerlendirme:
  • $\triangle ABC$ ikizkenar üçgen ve $|AC| = |BC|$. Bu durumda $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ABC})$ olur.
  • $m(\widehat{BAF}) = 45^\circ$.
  • $|AE| = |AD| = |DC|$. Bu uzunluklara $k$ diyelim. Yani $|AE| = k$, $|AD| = k$, $|DC| = k$.
  • Bu durumda $|AC| = |AD| + |DC| = k + k = 2k$ olur.
  • $|AC| = |BC|$ olduğundan, $|BC| = 2k$.
  • $|AB| = 2|DE|$.
  • Bizden $m(\widehat{AFC}) = \alpha$ açısı isteniyor.
• 2. Açıları Tanımlama:
  • $m(\widehat{FAC}) = \delta$ diyelim.
  • O zaman $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAF}) + m(\widehat{FAC}) = 45^\circ + \delta$.
  • $\triangle ABC$ ikizkenar olduğundan $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC}) = 45^\circ + \delta$.
• 3. $\triangle ADE$ Üçgenini İnceleme:
  • $|AE| = |AD| = k$ olduğundan, $\triangle ADE$ ikizkenar bir üçgendir.
  • $m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{FAC}) = \delta$.
  • İkizkenar üçgenin taban açıları eşit olduğundan, $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) = \frac{180^\circ - \delta}{2} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$.
• 4. Sinüs Teoremini Uygulama:
  • $\triangle ADE$ için Sinüs Teoremi:

    $\frac{|DE|}{\sin(m(\widehat{EAD}))} = \frac{|AE|}{\sin(m(\widehat{ADE}))}$

    $\frac{|DE|}{\sin(\delta)} = \frac{k}{\sin(90^\circ - \delta/2)}$

    $\frac{|DE|}{\sin(\delta)} = \frac{k}{\cos(\delta/2)}$

    $\sin(\delta) = 2\sin(\delta/2)\cos(\delta/2)$ özdeşliğini kullanarak:

    $|DE| = \frac{k \cdot 2\sin(\delta/2)\cos(\delta/2)}{\cos(\delta/2)} = 2k\sin(\delta/2)$

  • $\triangle ABC$ için Sinüs Teoremi:

    $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ + \delta$. $m(\widehat{BCA}) = 180^\circ - 2(45^\circ + \delta) = 90^\circ - 2\delta$.

    $\frac{|AB|}{\sin(m(\widehat{BCA}))} = \frac{|AC|}{\sin(m(\widehat{ABC}))}$

    $\frac{|AB|}{\sin(90^\circ - 2\delta)} = \frac{2k}{\sin(45^\circ + \delta)}$

    $\frac{|AB|}{\cos(2\delta)} = \frac{2k}{\sin(45^\circ + \delta)}$

    $|AB| = \frac{2k \cos(2\delta)}{\sin(45^\circ + \delta)}$

    Alternatif olarak, $\frac{|AB|}{\sin(m(\widehat{BCA}))} = \frac{|BC|}{\sin(m(\widehat{BAC}))}$ veya $\frac{|AB|}{\sin(2(45^\circ+\delta))} = \frac{2k}{\sin(45^\circ+\delta)}$

    $|AB| = \frac{2k \sin(2(45^\circ+\delta))}{\sin(45^\circ+\delta)} = \frac{2k \cdot 2\sin(45^\circ+\delta)\cos(45^\circ+\delta)}{\sin(45^\circ+\delta)} = 4k\cos(45^\circ+\delta)$

• 5. $\delta$ Değerini Bulma:
  • Verilen $|AB| = 2|DE|$ eşitliğini kullanalım:
  • $4k\cos(45^\circ + \delta) = 2(2k\sin(\delta/2))$
  • $4k\cos(45^\circ + \delta) = 4k\sin(\delta/2)$
  • $\cos(45^\circ + \delta) = \sin(\delta/2)$
  • $\sin(x) = \cos(90^\circ - x)$ özdeşliğini kullanarak:
  • $\cos(45^\circ + \delta) = \cos(90^\circ - \delta/2)$
  • Açılar üçgenin iç açıları olduğundan, $45^\circ + \delta = 90^\circ - \delta/2$ olmalıdır.
  • $\delta + \frac{\delta}{2} = 90^\circ - 45^\circ$
  • $\frac{3\delta}{2} = 45^\circ$
  • $3\delta = 90^\circ$
  • $\delta = 30^\circ$.
• 6. İstenen Açıyı Hesaplama:
  • $\delta = 30^\circ$ olduğuna göre:
  • $m(\widehat{ABC}) = 45^\circ + \delta = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.
  • $\alpha = m(\widehat{AFC})$ açısı, $\triangle ABF$ üçgeninin dış açısıdır.
  • Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
  • $\alpha = m(\widehat{ABF}) + m(\widehat{BAF})$
  • $\alpha = m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAF})$
  • $\alpha = 75^\circ + 45^\circ = 120^\circ$.

Cevap C seçeneğidir.