Adım 1: Yardımcı Üçgen Oluşturma

• E noktası BC kenarının orta noktasıdır. Bu bilgiyi kullanarak, \(\triangle EDC\)'yi E noktası etrafında \(180^\circ\) döndürerek yeni bir \(\triangle B D' E\) üçgeni oluşturalım.
• Bu döndürme sonucunda C noktası B noktasına, D noktası ise D' noktasına gelir.
• Döndürme işlemi eş üçgenler oluşturur: \(\triangle EDC \cong \triangle B D' E\).
• Bu eşlikten dolayı şu eşitlikler elde edilir:
  • \(|ED'| = |ED| = 5\) cm
  • \(|BD'| = |CD|\)
  • \(m(\widehat{EBD'}) = m(\widehat{ECD}) = 35^\circ\)
  • \(m(\widehat{BED'}) = m(\widehat{CED})\)

Adım 2: D' Noktasının Konumunu Belirleme

• Soruda verilen \(|AB| = 2|CD|\) eşitliğini kullanalım.
• \(|BD'| = |CD|\) olduğundan, \(|AB| = 2|BD'|\) olur.
• Bu eşitlik, D' noktasının AB kenarının orta noktası olduğunu gösterir. Yani \(|AD'| = |BD'|\).

Adım 3: Orta Taban Özelliğini Kullanma

• E noktası BC'nin orta noktası ve D' noktası AB'nin orta noktası olduğundan, D'E doğru parçası \(\triangle ABC\)'nin bir orta tabanıdır.
• Orta taban özelliklerine göre:
  • \(D'E \parallel AC\) (D'E, AC'ye paraleldir)
  • \(|D'E| = \frac{1}{2}|AC|\) (D'E'nin uzunluğu AC'nin uzunluğunun yarısıdır)
• Verilen değerleri kontrol edelim: \(|D'E| = 5\) cm ve \(|AC| = 10\) cm. Gerçekten de \(5 = \frac{1}{2}(10)\) eşitliği sağlanır.

Adım 4: Açıları Hesaplama

• \(D'E \parallel AC\) olduğundan, yöndeş açılar eşittir:
  • \(m(\widehat{BD'E}) = m(\widehat{BAC}) = \alpha\)
  • \(m(\widehat{BED'}) = m(\widehat{BCA})\)
• Soruda \(m(\widehat{ACB}) = 60^\circ\) olarak verilmiştir. Dolayısıyla \(m(\widehat{BCA}) = 60^\circ\).
• Bu durumda \(m(\widehat{BED'}) = 60^\circ\) olur.

Adım 5: \(\alpha\) Açısını Bulma

• Şimdi \(\triangle B D' E\) üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin açıları şunlardır:
  • \(m(\widehat{EBD'}) = 35^\circ\) (Adım 1'den)
  • \(m(\widehat{BED'}) = 60^\circ\) (Adım 4'ten)
  • \(m(\widehat{BD'E}) = \alpha\) (Adım 4'ten)
• Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan: \[\alpha + m(\widehat{EBD'}) + m(\widehat{BED'}) = 180^\circ\] \[\alpha + 35^\circ + 60^\circ = 180^\circ\] \[\alpha + 95^\circ = 180^\circ\] \[\alpha = 180^\circ - 95^\circ\] \[\alpha = 85^\circ\]

Cevap C seçeneğidir.