Verilen problemde, ABC dik üçgeninde ED ve FG'nin BC'ye dik olduğu belirtilmiştir. Bu durum, ED ve FG'nin birbirine paralel olduğunu ve dolayısıyla benzer üçgenler oluşturduğunu gösterir.

• Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme

\(\triangle ABC\) bir dik üçgendir (\(\angle A = 90^\circ\)).
\(\triangle BDE\) üçgeninde \(\angle D = 90^\circ\) ve \(\angle B\) açısı ortaktır.
\(\triangle FGC\) üçgeninde \(\angle G = 90^\circ\) ve \(\angle C\) açısı ortaktır.

Bu durumda, \(\triangle BDE \sim \triangle BAC\) ve \(\triangle FGC \sim \triangle BAC\) benzerlikleri vardır. Bu iki benzerlikten dolayı, \(\triangle BDE\) ve \(\triangle FGC\) üçgenleri de birbirine benzerdir. Benzerlik sırası: \(\angle BDE = \angle FGC = 90^\circ\). \(\angle BED = \angle C\) (çünkü \(\angle B + \angle C = 90^\circ\) ve \(\angle B + \angle BED = 90^\circ\)). \(\angle GFC = \angle B\) (çünkü \(\angle C + \angle GFC = 90^\circ\) ve \(\angle B + \angle C = 90^\circ\)). Dolayısıyla, \(\triangle BDE \sim \triangle FGC\) (Açı-Açı-Açı benzerliği).

• Adım 2: Benzerlik Oranlarını Yazma

\(\triangle BDE\) ve \(\triangle FGC\) benzer olduğundan, karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{|BE|}{|FC|} = \frac{|ED|}{|GC|} = \frac{|BD|}{|FG|} \]

• Adım 3: Verilen Bilgileri Kullanma

Soruda verilen bilgiler:

1. \(2 \cdot |ED| = 3 \cdot |GC|\)
2. \(|CF| = 6\) cm
3. \(|BE| = x\) cm (bulunması gereken)

İlk bilgiden \(\frac{|ED|}{|GC|}\) oranını bulalım: \[ \frac{|ED|}{|GC|} = \frac{3}{2} \]

• Adım 4: x Değerini Hesaplama

Benzerlik oranından \(\frac{|BE|}{|FC|} = \frac{|ED|}{|GC|}\) eşitliğini kullanabiliriz. Bulduğumuz oranları ve verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım: \[ \frac{x}{6} = \frac{3}{2} \] İçler dışlar çarpımı yaparak x'i bulalım: \[ 2x = 3 \cdot 6 \] \[ 2x = 18 \] \[ x = \frac{18}{2} \] \[ x = 9 \]

Buna göre, \(|BE|\) uzunluğu 9 cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.