Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim:

• $|AD| = 5$ cm
• $|DB| = 9$ cm $\implies |AB| = |AD| + |DB| = 5 + 9 = 14$ cm
• $|AE| = 7$ cm
• $|EC| = 3$ cm $\implies |AC| = |AE| + |EC| = 7 + 3 = 10$ cm
• $|DE| = 10$ cm
• $|BC| = 20$ cm

Şimdi $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenleri arasındaki benzerliği kontrol edelim. İki olası benzerlik durumu vardır:

Durum 1: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (Köşeler sırasıyla A-A, D-B, E-C)

• $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{5}{14}$
• $\frac{|AE|}{|AC|} = \frac{7}{10}$
• $\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Bu oranlar eşit değildir ($\frac{5}{14} \neq \frac{7}{10} \neq \frac{1}{2}$), dolayısıyla $\triangle ADE \not\sim \triangle ABC$.

Durum 2: $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ (Köşeler sırasıyla A-A, D-C, E-B)

• $\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
• $\frac{|AE|}{|AB|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
• $\frac{|DE|}{|CB|} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Tüm oranlar $\frac{1}{2}$'ye eşittir. Bu durumda, $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ (Kenar-Açı-Kenar veya Kenar-Kenar-Kenar benzerliği ile, burada A açısı ortak ve kenar oranları eşit). Bu benzerlikten aşağıdaki sonuçlar çıkar:

• Ortak açı: $m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{CAB})$
• Karşılıklı açılar eşittir: $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ ve $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})$
• Benzerlik oranı $k = \frac{1}{2}$'dir.

Şimdi seçenekleri değerlendirelim:

A) $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$

• $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ olduğundan, karşılıklı açılar eşittir. Bu ifade doğrudur.

C) $\widehat{ADE} \sim \widehat{ACB}$ dir.

• Yukarıda gösterildiği gibi, $\triangle ADE$ ve $\triangle ACB$ benzerdir. Bu ifade doğrudur.

D) Benzerlik oranı $\frac{1}{2}$ olabilir.

• $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ için benzerlik oranı $\frac{1}{2}$ olarak bulunmuştur. Bu ifade doğrudur.

B) $m(\widehat{DEC}) + m(\widehat{ABC}) = 180^\circ$

• A, E, C noktaları doğrusal olduğundan, $\widehat{AED}$ ve $\widehat{DEC}$ açıları bütünler açılardır: $m(\widehat{AED}) + m(\widehat{DEC}) = 180^\circ$.
• Benzerlikten $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ABC})$ olduğunu biliyoruz.
• Bu eşitliği yerine koyarsak: $m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{DEC}) = 180^\circ$. Bu ifade doğrudur.

E) $[DE] // [BC]$ dir.

• Eğer $[DE] // [BC]$ olsaydı, $\triangle ADE$ ile $\triangle ABC$ benzer olurdu (Temel Benzerlik Teoremi).
• Ancak yukarıda Durum 1'de gösterdiğimiz gibi, $\triangle ADE \not\sim \triangle ABC$ çünkü kenar oranları eşit değildir ($\frac{5}{14} \neq \frac{7}{10} \neq \frac{1}{2}$).
• Dolayısıyla, $[DE]$ ve $[BC]$ paralel değildir. Bu ifade yanlıştır.

Yanlış olan ifade E seçeneğidir.