Adım 1: İkizkenar Üçgen Özelliklerini Kullanma

• Şekildeki ABC üçgeni ikizkenar olup $|AB| = |AC|$ verilmiştir.
• İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir, bu nedenle $m(\hat{B}) = m(\hat{C})$'dir.

Adım 2: Açı Eşitliklerini İnceleme

• Soruda $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{FEC})$ olduğu belirtilmiştir. Bu açıya $\alpha$ diyelim.
• $\triangle BDE$ üçgeninin iç açıları $m(\hat{B})$, $m(\widehat{BDE}) = \alpha$ ve $m(\widehat{BED})$'dir.
• $\triangle FEC$ üçgeninin iç açıları $m(\hat{C})$, $m(\widehat{FEC}) = \alpha$ ve $m(\widehat{EFC})$'dir.
• Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:
  • $m(\widehat{BED}) = 180^\circ - m(\hat{B}) - \alpha$
  • $m(\widehat{EFC}) = 180^\circ - m(\hat{C}) - \alpha$
• $m(\hat{B}) = m(\hat{C})$ olduğu için, $m(\widehat{BED}) = m(\widehat{EFC})$ sonucuna ulaşırız. Bu açıya $\beta$ diyelim.

Adım 3: Benzer Üçgenleri Belirleme

• $\triangle BDE$ ve $\triangle FEC$ üçgenlerinin tüm açıları eşittir:
  • $m(\hat{B}) = m(\hat{C})$
  • $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{FEC}) = \alpha$
  • $m(\widehat{BED}) = m(\widehat{EFC}) = \beta$
• Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre $\triangle BDE \sim \triangle FEC$ benzerdir.

Adım 4: Benzerlik Oranını Kullanarak x Değerini Bulma

• Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Açıların karşısındaki kenarları eşleştirerek benzerlik oranını yazalım:
  • $m(\hat{B})$'nin karşısındaki kenar $|DE|$ ve $m(\hat{C})$'nin karşısındaki kenar $|FE|$.
  • $m(\widehat{BDE})$'nin karşısındaki kenar $|BE|$ ve $m(\widehat{FEC})$'nin karşısındaki kenar $|FC|$.
  • $m(\widehat{BED})$'nin karşısındaki kenar $|BD|$ ve $m(\widehat{EFC})$'nin karşısındaki kenar $|EC|$.
• Bu durumda benzerlik oranı şu şekildedir: $$ \frac{|DE|}{|FE|} = \frac{|BE|}{|FC|} = \frac{|BD|}{|EC|} $$
• Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
  • $|BE| = 6$ cm
  • $|FC| = 9$ cm
  • $|EC| = 12$ cm
  • $|BD| = x$
• Benzerlik oranının ilgili kısmını kullanarak x'i bulalım: $$ \frac{|BE|}{|FC|} = \frac{|BD|}{|EC|} $$ $$ \frac{6}{9} = \frac{x}{12} $$
• Oranı sadeleştirelim: $$ \frac{2}{3} = \frac{x}{12} $$
• İçler dışlar çarpımı yaparak x değerini çözelim: $$ 3x = 2 \times 12 $$ $$ 3x = 24 $$ $$ x = \frac{24}{3} $$ $$ x = 8 $$
• Buna göre, $|BD| = x = 8$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.