Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ ve $\triangle AED$ üçgenleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
- Soruda $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{AED})$ olduğu verilmiştir. Bu açılara $\beta$ diyelim.
- $\angle A$ açısı, hem $\triangle ABC$ üçgeninin hem de $\triangle AED$ üçgeninin ortak açısıdır. Yani $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAE})$.
- İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğundan, üçüncü açıları da eşit olmak zorundadır. Dolayısıyla $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ADE})$.
- Bu durumda, $\triangle ABC$ ve $\triangle AED$ üçgenleri benzerdir. Benzerlik sırasına dikkat edelim: $\triangle ABC \sim \triangle AED$.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
$$ \frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|BC|}{|ED|} = \frac{|AC|}{|AD|} $$
Şimdi verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
- $|AD| = 6$ cm
- $|AE| = 8$ cm
- $|DB| = 10$ cm
- $|BC| = 22$ cm
- $|AB| = |AD| + |DB| = 6 + 10 = 16$ cm
- $|AC| = |AE| + |EC| = 8 + |EC|$
Kenar oranlarını kullanarak bilinmeyenleri bulalım:
$$ \frac{16}{8} = \frac{22}{|ED|} = \frac{8 + |EC|}{6} $$
İlk oranı sadeleştirelim:
$$ \frac{16}{8} = 2 $$
Şimdi $|ED|$ uzunluğunu bulalım:
$$ 2 = \frac{22}{|ED|} \implies 2 \cdot |ED| = 22 \implies |ED| = 11 \text{ cm} $$
Şimdi de $|EC|$ uzunluğunu bulalım:
$$ 2 = \frac{8 + |EC|}{6} \implies 2 \cdot 6 = 8 + |EC| \implies 12 = 8 + |EC| \implies |EC| = 12 - 8 = 4 \text{ cm} $$
Son olarak, bizden istenen $|DE| + |EC|$ toplamını hesaplayalım:
$$ |DE| + |EC| = 11 + 4 = 15 \text{ cm} $$
Cevap C seçeneğidir.