Verilen problemde, bir ikizkenar üçgenin döndürülmesi sonucu oluşan yeni durumda bir uzunluk istenmektedir. Adım adım çözümleyelim:

• Adım 1: Şekil 1'deki ABC üçgenini analiz edelim.

  ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir ve kenar uzunlukları $|AB| = |AC| = 25$ birim ve $|BC| = 40$ birimdir. A noktasından BC kenarına bir yükseklik (h) indirelim. İkizkenar üçgende yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler. Bu yüksekliğin BC üzerindeki ayağına H diyelim. O zaman $|BH| = |HC| = 40/2 = 20$ birim olur.

  ABH dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak yüksekliği bulalım:

  $$|AH|^2 + |BH|^2 = |AB|^2$$

  $$|AH|^2 + 20^2 = 25^2$$

  $$|AH|^2 + 400 = 625$$

  $$|AH|^2 = 225$$

  $$|AH| = 15 \text{ birim}$$

  Şimdi, $\angle ABC$ açısının kosinüs değerini bulalım (bu açıya $\beta$ diyelim):

  $$\cos(\beta) = \frac{|BH|}{|AB|} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$

• Adım 2: Şekil 2'deki döndürülmüş üçgeni analiz edelim.

  ABC üçgeni, B köşesi etrafında döndürülerek A'BC' üçgeni elde edilmiştir. Dönme bir izometri olduğundan, üçgenin kenar uzunlukları değişmez. Dolayısıyla, $|A'B| = |AB| = 25$ birim ve $|BC'| = |BC| = 40$ birimdir.

  Soruda, A'B kenarının BK doğrusuna dik olduğu belirtilmiştir. Yani $\angle A'BK = 90^\circ$.

  Bizden $|C'K| = x$ uzunluğu istenmektedir. C' noktasından BK doğrusuna indirilen dikmenin ayağı K'dir.

  Dönme sırasında açılar da korunur. Bu nedenle $\angle A'BC' = \angle ABC = \beta$.

  Şekil 2'de, B köşesi etrafında A'B dik konumda olduğuna göre, $\angle KBC'$ açısı $\angle A'BK - \angle A'BC'$ olarak ifade edilebilir:

  $$\angle KBC' = 90^\circ - \beta$$

• Adım 3: x uzunluğunu hesaplayalım.

  BKC' dik üçgenini göz önüne alalım. Hipotenüs $|BC'| = 40$ birimdir. $|C'K|$ uzunluğu, $\angle KBC'$ açısının sinüsü ile $|BC'|$ uzunluğunun çarpımına eşittir:

  $$x = |C'K| = |BC'| \cdot \sin(\angle KBC')$$

  $$x = 40 \cdot \sin(90^\circ - \beta)$$

  Trigonometrik özdeşliklerden $\sin(90^\circ - \beta) = \cos(\beta)$ olduğunu biliyoruz. Adım 1'de $\cos(\beta) = 4/5$ olarak bulmuştuk.

  $$x = 40 \cdot \cos(\beta)$$

  $$x = 40 \cdot \frac{4}{5}$$

  $$x = 8 \cdot 4$$

  $$x = 32 \text{ birim}$$

Cevap C seçeneğidir.