Verilen bilgilere göre, şekildeki ABC üçgeni bir dik üçgendir ($[BA] \perp [AC]$). Ayrıca, $[DE] \perp [BC]$ olduğu belirtilmiştir.

• Adım 1: Benzer Üçgenleri Belirleme

$\triangle ABC$ ve $\triangle DEC$ üçgenlerine bakalım:

• $\angle BAC = 90^\circ$ (verilmiş)
• $\angle DEC = 90^\circ$ (verilmiş)
• $\angle C$ her iki üçgen için de ortak açıdır.
İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir (A.A. Benzerlik Kuralı). Bu durumda, $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ benzerliği vardır.
• Adım 2: Benzerlik Oranını Yazma

Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır: $$ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|EC|} = \frac{|BC|}{|DC|} $$

• Adım 3: $|AC|$ Uzunluğunu Bulma

Verilen uzunlukları benzerlik oranında yerine koyalım: $|AB|=10$, $|DE|=8$, $|EC|=15$. $$ \frac{10}{8} = \frac{|AC|}{15} $$ İçler dışlar çarpımı yaparak $|AC|$'yi bulalım: $$ 8 \cdot |AC| = 10 \cdot 15 $$ $$ 8 \cdot |AC| = 150 $$ $$ |AC| = \frac{150}{8} = \frac{75}{4} \text{ cm} $$

• Adım 4: $|DC|$ Uzunluğunu Bulma

$\triangle DEC$ bir dik üçgen olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: $$ |DC|^2 = |DE|^2 + |EC|^2 $$ $$ |DC|^2 = 8^2 + 15^2 $$ $$ |DC|^2 = 64 + 225 $$ $$ |DC|^2 = 289 $$ $$ |DC| = \sqrt{289} = 17 \text{ cm} $$

• Adım 5: $|AD|=x$ Uzunluğunu Bulma

Şekilden de görüldüğü gibi, $|AC| = |AD| + |DC|$'dir. Bulduğumuz değerleri yerine koyalım: $$ \frac{75}{4} = x + 17 $$ $x$'i yalnız bırakalım: $$ x = \frac{75}{4} - 17 $$ Paydaları eşitleyelim: $$ x = \frac{75}{4} - \frac{17 \cdot 4}{4} $$ $$ x = \frac{75}{4} - \frac{68}{4} $$ $$ x = \frac{75 - 68}{4} $$ $$ x = \frac{7}{4} \text{ cm} $$

Cevap A seçeneğidir.