Bu soruyu çözmek için, verilen diklikleri ve eşit uzunlukları kullanarak benzer üçgenleri tespit edeceğiz.
Verilen bilgilere göre, \(AB \perp BD\), \(ED \perp BD\) ve \(AC \perp CE\)'dir. Ayrıca \(|BC| = |CD|\), \(|AB| = 4\) br ve \(|ED| = 8\) br'dir.
Şekildeki üçgenlere bakalım: \(\triangle ABC\) ve \(\triangle EDC\).
\(\angle B = 90^\circ\) ve \(\angle D = 90^\circ\).
Şimdi açıları inceleyelim. \(\angle ACE = 90^\circ\) olduğu için, \(\angle BCA\) açısına \(\alpha\) dersek, \(\angle ECD\) açısı \(90^\circ - \alpha\) olur.
\(\triangle ABC\) üçgeninde, \(\angle B = 90^\circ\) ve \(\angle BCA = \alpha\) olduğundan, \(\angle BAC = 90^\circ - \alpha\) olur.
\(\triangle EDC\) üçgeninde, \(\angle D = 90^\circ\) ve \(\angle ECD = 90^\circ - \alpha\) olduğundan, \(\angle CED = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\) olur.
Bu durumda, \(\triangle ABC\) ve \(\triangle CDE\) üçgenlerinin açıları şöyledir:
- \(\triangle ABC\): \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle BCA = \alpha\), \(\angle BAC = 90^\circ - \alpha\)
- \(\triangle CDE\): \(\angle D = 90^\circ\), \(\angle CED = \alpha\), \(\angle ECD = 90^\circ - \alpha\)
Açıları aynı olduğu için bu iki üçgen benzerdir (\(A.A.\) benzerliği): \(\triangle ABC \sim \triangle CDE\).
Benzer üçgenlerde kenar oranları eşittir:
\(\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|BC|}{|DE|}\)
Verilen değerleri yerine yazalım. \(|BC| = |CD|\) olduğu için bu uzunluğa \(x\) diyelim. \(|AB| = 4\) ve \(|DE| = 8\).
\(\frac{4}{x} = \frac{x}{8}\)
Denklemi çözelim:
\(x^2 = 4 \times 8\)
\(x^2 = 32\)
\(x = \sqrt{32}\)
\(x = \sqrt{16 \times 2}\)
\(x = 4\sqrt{2}\)
Bizden \(|BD|\) uzunluğu isteniyor. \(|BD| = |BC| + |CD|\) ve \(|BC| = |CD| = x\) olduğundan:
\(|BD| = x + x = 2x\)
\(|BD| = 2 \times 4\sqrt{2}\)
\(|BD| = 8\sqrt{2}\)
Cevap E seçeneğidir.