Verilen bilgilere göre, ABCD dörtgeninde iki dik üçgen bulunmaktadır: \(\triangle BCD\) ve \(\triangle ABD\).

• Adım 1: \(\triangle BCD\) üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.

  Bu üçgen C noktasında dik açılıdır. Kenar uzunlukları \(|BC|=4\) cm ve \(|CD|=8\) cm olarak verilmiştir.

  \(|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\)

  \(|BD|^2 = 4^2 + 8^2\)

  \(|BD|^2 = 16 + 64\)

  \(|BD|^2 = 80\)

  \(|BD| = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}\) cm.

• Adım 2: \(\triangle BCD\) üçgeninde \(\angle CDB\) açısının trigonometrik oranlarını bulalım.

  Açıya \(\alpha\) diyelim: \(m(\widehat{CDB}) = \alpha\).

  \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).

  Bir dik üçgen çizerek \(\tan(\alpha) = 1/2\) olan bir açının kosinüsünü bulabiliriz. Karşı kenar 1, komşu kenar 2 ise, hipotenüs \(\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) olur.

  Bu durumda, \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

• Adım 3: \(\triangle ABD\) üçgeninde trigonometrik oranları kullanalım.

  Soruda \(m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{CDB})\) olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle \(m(\widehat{ADB}) = \alpha\).

  \(\triangle ABD\) üçgeni B noktasında dik açılıdır. Hipotenüs \(|AD|=x\) ve komşu kenar \(|BD|=4\sqrt{5}\) cm'dir.

  \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|BD|}{|AD|}\)

  \(\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{x}\)

• Adım 4: \(x\) değerini hesaplayalım.

  Denklemi çözerek \(x\)'i bulalım:

  \(2x = 4\sqrt{5} \times \sqrt{5}\)

  \(2x = 4 \times 5\)

  \(2x = 20\)

  \(x = \frac{20}{2}\)

  \(x = 10\) cm.

Cevap B seçeneğidir.