Verilen üçgen ABC için aşağıdaki bilgiler mevcuttur:

• $|AD| = |CD|$
• $|BD| = 6$ cm
• $|AB| = |AC| = 2\sqrt{10}$ cm

Bizden $|AD|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

Bu tür bir problemde, bir üçgende bir kenarortay veya bir cevian (bir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası) ile ilgili uzunlukları bulmak için Stewart Teoremi (Apollonius Teoremi'nin genelleştirilmiş hali) oldukça kullanışlıdır.

Stewart Teoremi'ne göre, bir ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerinde ise:

$$|AB|^2 \cdot |CD| + |AC|^2 \cdot |BD| = |BC| \cdot (|AD|^2 + |BD| \cdot |CD|)$$

Şimdi verilen değerleri bu teoremde yerine koyalım:

• $|AD| = |CD| = x$ diyelim.
• $|BD| = 6$ cm
• $|AB| = 2\sqrt{10}$ cm
• $|AC| = 2\sqrt{10}$ cm
• $|BC| = |BD| + |CD| = 6 + x$ cm

Denklemde yerine yazarsak:

$$(2\sqrt{10})^2 \cdot x + (2\sqrt{10})^2 \cdot 6 = (6+x) \cdot (x^2 + 6x)$$

İşlemleri yapalım:

$$40 \cdot x + 40 \cdot 6 = (6+x) \cdot (x^2 + 6x)$$

$$40x + 240 = (6+x) \cdot (x^2 + 6x)$$

Sol tarafı 40 parantezine alalım:

$$40(x+6) = (6+x) \cdot (x^2 + 6x)$$

Her iki tarafta da $(x+6)$ terimi bulunmaktadır. Uzunluk pozitif olmak zorunda olduğu için $x+6 \neq 0$ olduğundan, her iki tarafı $(x+6)$ ile bölebiliriz:

$$40 = x^2 + 6x$$

Denklemi düzenleyelim ve bir kuadratik denklem elde edelim:

$$x^2 + 6x - 40 = 0$$

Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -40 ve toplamları 6 olan iki sayı 10 ve -4'tür:

$$(x+10)(x-4) = 0$$

Buradan iki olası çözüm elde ederiz:

• $x+10 = 0 \implies x = -10$
• $x-4 = 0 \implies x = 4$

Uzunluk negatif olamayacağı için $x = -10$ çözümü geçersizdir. Dolayısıyla, $|AD|$ uzunluğu $x = 4$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.