Verilen bilgilere göre, \(\triangle ABC\) bir dik üçgendir ve \(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\). Ayrıca \(|BC| = 2\sqrt{2}\) cm ve \(|AD| = |DB|\) olduğu belirtilmiştir. \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DCB})\) açısına \(\alpha\) diyelim.

• Adım 1: Kenar uzunluklarını ve açıları tanımlayalım.

\(|AD| = |DB|\) olduğundan, bu uzunluklara \(x\) diyelim. Dolayısıyla, \(|AB| = |AD| + |DB| = x + x = 2x\).

\(m(\widehat{BAC}) = \alpha\) ve \(m(\widehat{DCB}) = \alpha\).

• Adım 2: \(\triangle BDC\) dik üçgeninde trigonometrik oranları kullanalım.

\(\triangle BDC\) bir dik üçgendir (\(m(\widehat{DBC}) = 90^\circ\)).

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{|BD|}{|BC|}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{x}{2\sqrt{2}}\)

• Adım 3: \(\triangle ABC\) dik üçgeninde trigonometrik oranları kullanalım.

\(\triangle ABC\) de bir dik üçgendir (\(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\)).

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} = \frac{|BC|}{|AB|}\)

\(\tan(\alpha) = \frac{2\sqrt{2}}{2x} = \frac{\sqrt{2}}{x}\)

• Adım 4: \(\tan(\alpha)\) ifadelerini eşitleyelim ve \(x\) değerini bulalım.

Elde ettiğimiz iki \(\tan(\alpha)\) ifadesini birbirine eşitleyelim:

\(\frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{x}\)

İçler dışlar çarpımı yaparak:

\(x \cdot x = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\)

\(x^2 = 2 \cdot 2\)

\(x^2 = 4\)

\(x = 2\) (Uzunluk pozitif olmalıdır.)

• Adım 5: \(|AB|\) uzunluğunu hesaplayalım.

\(|AB| = 2x\) olarak tanımlamıştık.

\(|AB| = 2 \cdot 2 = 4\) cm.

Cevap A seçeneğidir.