Soruyu adım adım çözelim:

• Verilen bilgiler şunlardır:
  • $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DAC})$
  • $|BD| = |CD|$ (D noktası BC kenarının orta noktasıdır)
  • $|AC| = 8$ cm
• Amacımız $|BC|$ uzunluğunu bulmaktır.
• Açıları isimlendirelim:
  • $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DAC}) = \alpha$ diyelim.
  • $m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{DCA}) = \gamma$ diyelim (C açısı her iki üçgende de ortaktır).
• Şimdi $\triangle ABC$ ve $\triangle DAC$ üçgenlerinin açılarını inceleyelim:
  • $\triangle ABC$ üçgeninin açıları: $\alpha$, $\gamma$, $m(\widehat{BAC})$.
  • $\triangle DAC$ üçgeninin açıları: $\alpha$, $\gamma$, $m(\widehat{ADC})$.
• Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:
  • $m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$
  • $m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$
• Bu durumda, $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ADC})$ olduğu sonucuna varırız.
• İki üçgenin ( $\triangle ABC$ ve $\triangle DAC$ ) tüm açıları eşit olduğuna göre (Açı-Açı-Açı benzerliği), bu üçgenler benzerdir:
  • $\triangle ABC \sim \triangle DAC$
• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Köşelerin sıralamasına dikkat ederek oranları yazalım:
  • $\frac{|AB|}{|DA|} = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|DC|}$
• Bizim için önemli olan oran $\frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|DC|}$ kısmıdır.
• $|BD| = |CD|$ olduğu için, $|CD| = x$ dersek, $|BC| = 2x$ olur.
• Verilen değerleri ve $x$ cinsinden ifadeleri orana yerleştirelim:
  • $\frac{2x}{8} = \frac{8}{x}$
• Denklemi çözelim:
  • $2x \cdot x = 8 \cdot 8$
  • $2x^2 = 64$
  • $x^2 = 32$
  • $x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
• Bizden istenen $|BC|$ uzunluğudur. $|BC| = 2x$ olduğu için:
  • $|BC| = 2 \cdot (4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ cm

Cevap E seçeneğidir.