Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ üçgenlerini inceleyelim:

• $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{CAE})$ olarak verilmiş. Şekilde D noktası AC üzerinde olduğundan, $m(\widehat{CAE})$ açısı aynı zamanda $m(\widehat{DAE})$ açısıdır. Dolayısıyla, $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{DAE})$ diyebiliriz. Bu iki açıya $\alpha$ diyelim.
• $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB})$ olarak verilmiş. Bu iki açıya $\beta$ diyelim.

Şimdi $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ üçgenlerinin açılarını karşılaştıralım:

• $\triangle ABC$ üçgeninde açılar: $m(\widehat{BAC}) = \alpha$, $m(\widehat{ACB}) = \beta$. Üçüncü açı $m(\widehat{ABC})$ olsun.
• $\triangle ADE$ üçgeninde açılar: $m(\widehat{DAE}) = \alpha$, $m(\widehat{AED}) = \beta$. Üçüncü açı $m(\widehat{ADE})$ olsun.

İki üçgenin ( $\triangle ABC$ ve $\triangle ADE$ ) ikişer açısı eşit olduğundan (Açı-Açı benzerliği), üçüncü açıları da eşit olmak zorundadır. Yani $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE})$.

Bu durumda, $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ benzerliği vardır. Benzerlik oranını yazarken, karşılıklı açılarının karşısındaki kenarları oranlarız:

• $\alpha$ açısının karşısındaki kenarlar: $|BC|$ ve $|DE|$
• $\beta$ açısının karşısındaki kenarlar: $|AB|$ ve $|AD|$
• Üçüncü açının karşısındaki kenarlar: $|AC|$ ve $|AE|$

Benzerlik oranı şu şekildedir:

$$\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|BC|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|AE|}$$

Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:

• $|AB| = 9$ cm
• $|AD| = 6$ cm
• $|DC| = 2$ cm
• $|AC| = |AD| + |DC| = 6 + 2 = 8$ cm
• $|AE| = x$

Bu değerleri benzerlik oranında yerine koyarsak:

$$\frac{9}{6} = \frac{8}{x}$$

Denklemi çözelim:

$$\frac{3}{2} = \frac{8}{x}$$

İçler dışlar çarpımı yaparak $x$'i bulalım:

$$3x = 2 \times 8$$

$$3x = 16$$

$$x = \frac{16}{3}$$

Buna göre, $|AE| = x = \frac{16}{3}$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.