Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $|AB| = |AC| = |DC| = |DE|$ olduğu için bu uzunluklara $k$ diyelim. Yani, $|AC| = k$ ve $|DC| = k$ birimdir.
- $AC \perp CD$ olduğu belirtildiğinden, $\triangle ACD$ bir dik üçgendir ve C noktasında dik açıya sahiptir.
- Pisagor Teoremi'ne göre, $|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2$ eşitliği geçerlidir. Buradan $x^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$ ve $x = k\sqrt{2}$ elde edilir.
- B, C, E noktaları doğrusal olduğundan, $\angle BCA + \angle ACD + \angle DCE = 180^\circ$'dir.
- $\angle ACD = 90^\circ$ olduğu verildiği için, $\angle BCA + \angle DCE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$'dir.
- $\triangle ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|=k$ ve $|BC|=16$ birimdir. A noktasından BC'ye indirilen dikme BC'yi ikiye böler, yani $16/2 = 8$ birim olur. $\angle BCA = \alpha$ dersek, $\cos(\alpha) = \frac{8}{k}$'dir.
- $\triangle DCE$ ikizkenar üçgeninde $|DC|=|DE|=k$ ve $|CE|=12$ birimdir. D noktasından CE'ye indirilen dikme CE'yi ikiye böler, yani $12/2 = 6$ birim olur. $\angle DCE = \beta$ dersek, $\cos(\beta) = \frac{6}{k}$'dir.
- $\alpha + \beta = 90^\circ$ olduğundan, $\beta = 90^\circ - \alpha$ ve $\cos(\beta) = \sin(\alpha)$'dır.
- Bu durumda, $\sin(\alpha) = \frac{6}{k}$'dir.
- Trigonometrik özdeşlik olan $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ eşitliğini kullanarak: $(\frac{6}{k})^2 + (\frac{8}{k})^2 = 1$'dir.
- $\frac{36}{k^2} + \frac{64}{k^2} = 1 \Rightarrow \frac{100}{k^2} = 1 \Rightarrow k^2 = 100 \Rightarrow k = 10$ birim bulunur.
- $k = 10$ değerini $x = k\sqrt{2}$ ifadesinde yerine koyarsak, $x = 10\sqrt{2}$ birim elde edilir.
- Doğru Seçenek E'dır.