Sorunun Çözümü
- Verilen uzunlukları kullanarak $AB$ ve $BC$ kenarlarını bulalım:
- $|AB| = |AG| + |BG| = 4 cm + 6 cm = 10 cm$.
- $|BC| = |BE| + |EC| = 4 cm + 8 cm = 12 cm$.
- $|AC| = |AF| + |CF| = 6 cm + x cm$.
- $\triangle GBE$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım: $|GE|^2 = |BG|^2 + |BE|^2 - 2 \cdot |BG| \cdot |BE| \cdot \cos B$
- $|GE|^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos B = 36 + 16 - 48 \cos B = 52 - 48 \cos B$.
- $\triangle GAF$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım: $|GF|^2 = |AG|^2 + |AF|^2 - 2 \cdot |AG| \cdot |AF| \cdot \cos A$
- $|GF|^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos A = 16 + 36 - 48 \cos A = 52 - 48 \cos A$.
- Verilen bilgiye göre $|GF| = |GE|$ olduğundan, $|GF|^2 = |GE|^2$ eşitliğini yazalım:
- $52 - 48 \cos B = 52 - 48 \cos A$.
- Bu eşitlikten $-48 \cos B = -48 \cos A$ ve dolayısıyla $\cos B = \cos A$ çıkar.
- Bir üçgenin açıları için $\cos B = \cos A$ ise $B = A$ olmalıdır.
- $\triangle ABC$ üçgeninde $\angle A = \angle B$ olduğu için bu üçgen ikizkenardır ve $A$ ile $B$ açılarının karşısındaki kenarlar eşit olmalıdır: $|AC| = |BC|$.
- $|AC| = 6 + x$ ve $|BC| = 12$ olduğundan, $6 + x = 12$ denklemini çözelim.
- $x = 12 - 6 = 6 cm$.
- Doğru Seçenek D'dır.