Verilen bilgilere göre ABCD bir kare, FC $\perp$ CE ve m(AEF) = 15°'dir. m(CFD) = x açısını bulmamız isteniyor. Şekildeki 15° açısının konumu yanıltıcı olabilir; metinde belirtilen m(AEF) = 15° bilgisini esas alarak çözüme başlıyoruz.

• Adım 1: Kare Özelliklerini Kullanma
  • ABCD bir kare olduğu için tüm iç açıları 90°'dir (m(A) = m(B) = m(C) = m(D) = 90°).
  • Tüm kenar uzunlukları eşittir. Bir kenar uzunluğunu s olarak alalım. Yani AB = BC = CD = DA = s.
• Adım 2: Verilen Açıları Kullanma
  • FC $\perp$ CE olduğu için m(FCE) = 90°'dir.
  • Metinde verilen m(AEF) = 15° bilgisini kullanıyoruz.
• Adım 3: Üçgenlerdeki Açı ve Kenar Bağıntılarını Kurma
  • $\triangle AEF$ üçgeninde:
    • m(FAE) = 90° (Karenin A açısı).
    • m(AEF) = 15° (Verilen bilgi).
    • AF uzunluğuna y diyelim.
    • $\tan(15^\circ) = \frac{AF}{AE} = \frac{y}{AE} \implies AE = \frac{y}{\tan(15^\circ)}$.
  • BE uzunluğunu bulma:
    • E noktası AB doğrusu üzerindedir. $BE = AE - AB = \frac{y}{\tan(15^\circ)} - s$.
  • C noktası etrafındaki açılar:
    • m(BCD) = 90° (Karenin C açısı).
    • m(FCE) = 90° (Verilen bilgi).
    • m(BCE) açısına $\alpha$ diyelim.
    • m(BCF) = m(FCE) - m(BCE) = $90^\circ - \alpha$.
    • m(FCD) = m(BCD) - m(BCF) = $90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
    • Bu durumda m(FCD) = m(BCE) = $\alpha$'dır. Bu önemli bir eşitliktir.
• Adım 4: Trigonometrik Oranları Kullanarak Denklemleri Oluşturma
  • $\triangle CBE$ üçgeninde:
    • m(CBE) = 90° (Karenin B açısı).
    • $BC = s$.
    • $\tan(\angle BCE) = \tan(\alpha) = \frac{BE}{BC} = \frac{\frac{y}{\tan(15^\circ)} - s}{s} = \frac{y}{s \cdot \tan(15^\circ)} - 1$.
  • $\triangle FCD$ üçgeninde:
    • m(CDF) = 90° (Karenin D açısı).
    • $CD = s$.
    • $FD = DA - AF = s - y$.
    • $\tan(\angle FCD) = \tan(\alpha) = \frac{FD}{CD} = \frac{s-y}{s} = 1 - \frac{y}{s}$.
  • Denklemleri eşitleme:
    • $\frac{y}{s \cdot \tan(15^\circ)} - 1 = 1 - \frac{y}{s}$.
    • $\frac{y}{s \cdot \tan(15^\circ)} + \frac{y}{s} = 2$.
    • $\frac{y}{s} \left( \frac{1}{\tan(15^\circ)} + 1 \right) = 2$.
    • $\frac{y}{s} ( \cot(15^\circ) + 1 ) = 2$.
    • $\frac{y}{s} = \frac{2}{\cot(15^\circ) + 1}$.
• Adım 5: x Açısını Bulma
  • Bizden m(CFD) = x açısı isteniyor. $\triangle FCD$ üçgeninde:
  • $\tan(x) = \frac{CD}{FD} = \frac{s}{s-y}$.
  • $s-y = s - s \cdot \frac{2}{\cot(15^\circ) + 1} = s \left( 1 - \frac{2}{\cot(15^\circ) + 1} \right) = s \left( \frac{\cot(15^\circ) + 1 - 2}{\cot(15^\circ) + 1} \right) = s \left( \frac{\cot(15^\circ) - 1}{\cot(15^\circ) + 1} \right)$.
  • $\tan(x) = \frac{s}{s \left( \frac{\cot(15^\circ) - 1}{\cot(15^\circ) + 1} \right)} = \frac{\cot(15^\circ) + 1}{\cot(15^\circ) - 1}$.
• Adım 6: $\cot(15^\circ)$ Değerini Hesaplama
  • $\cot(15^\circ) = \cot(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\cot(45^\circ)\cot(30^\circ) + 1}{\cot(30^\circ) - \cot(45^\circ)}$.
  • $\cot(45^\circ) = 1$ ve $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.
  • $\cot(15^\circ) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
  • Paydayı rasyonel yapalım: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
• Adım 7: $\tan(x)$ Değerini Hesaplama
  • $\tan(x) = \frac{\cot(15^\circ) + 1}{\cot(15^\circ) - 1} = \frac{(2 + \sqrt{3}) + 1}{(2 + \sqrt{3}) - 1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$.
  • Paydayı rasyonel yapalım: $\frac{(3 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3\sqrt{3} - 3 + 3 - \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
  • $\tan(x) = \sqrt{3}$ ise, x = 60°'dir.

Cevap B seçeneğidir.