Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Verilen Bilgileri Analiz Etme
• `[AC] \perp [BC]` olduğundan, `\triangle ABC` bir dik üçgendir ve `\angle ACB = 90^\circ`'dir.
• `[DE] \perp [AC]` olduğundan, `\triangle DEC` ve `\triangle DEA` için `\angle DEA = 90^\circ`'dir.
• `[BA] \perp [AD]` olduğundan, `\triangle BAD` bir dik üçgendir ve `\angle BAD = 90^\circ`'dir.
• `|AB| = |AD|` ve `\angle BAD = 90^\circ` olduğundan, `\triangle BAD` ikizkenar dik üçgendir.
• `|BC| = 3` cm ve `|EC| = 2` cm olarak verilmiştir.
• Adım 2: Benzer ve Eş Üçgenleri Belirleme
• `\angle BAC = \alpha` diyelim. `\triangle ABC`'de `\angle ACB = 90^\circ` olduğundan, `\angle ABC = 90^\circ - \alpha` olur.
• `\angle BAD = 90^\circ` olduğundan, `\angle CAD = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \alpha` olur.
• `\triangle DEA`'da `\angle DEA = 90^\circ` ve `\angle EAD = \angle CAD = 90^\circ - \alpha`'dır. Bu durumda `\angle ADE = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha` olur.
• Şimdi `\triangle ABC` ve `\triangle EDA` üçgenlerinin açılarını karşılaştıralım:
  • `\angle ACB = 90^\circ` ve `\angle DEA = 90^\circ`
  • `\angle BAC = \alpha` ve `\angle ADE = \alpha`
  • `\angle ABC = 90^\circ - \alpha` ve `\angle EAD = 90^\circ - \alpha`
• Açıları aynı olduğundan `\triangle ABC \sim \triangle EDA` (benzerdir).
• Ayrıca, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar oranı eşittir. Hipotenüsler olan `|AB|` ve `|DA|`'nın eşit olduğu (`|AB| = |AD|`) verildiğinden, bu iki üçgen eştir: `\triangle ABC \cong \triangle EDA`.
• Adım 3: Kenar Uzunluklarını Hesaplama
• `\triangle ABC \cong \triangle EDA` olduğundan, karşılıklı kenar uzunlukları eşittir:
  • `\alpha` açısının karşısındaki kenarlar: `|BC| = |EA|`.
  • `90^\circ - \alpha` açısının karşısındaki kenarlar: `|AC| = |ED|`.
• `|BC| = 3` cm verildiğinden, `|EA| = 3` cm olur.
• `|EC| = 2` cm verildiğinden, `|AC| = |AE| + |EC| = 3 + 2 = 5` cm bulunur.
• `|AC| = |ED|` olduğundan, `|ED| = 5` cm olur.
• Adım 4: `|CD|` Uzunluğunu Bulma
• `\triangle DEC` bir dik üçgendir çünkü `\angle DEC = 90^\circ`'dir.
• Kenar uzunlukları `|EC| = 2` cm ve `|ED| = 5` cm'dir.
• Pisagor Teoremi'ni uygulayarak `|CD|`'yi bulabiliriz: `$|CD|^2 = |EC|^2 + |ED|^2$` `$x^2 = 2^2 + 5^2$` `$x^2 = 4 + 25$` `$x^2 = 29$` `$x = \sqrt{29}$` cm.

Cevap E seçeneğidir.