Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. $\triangle DEC$ üçgeninde Pisagor Teoremi:

  Şekilde $[BD] \perp [DC]$ verildiğinden, $\angle BDC = 90^\circ$'dir. E noktası BD üzerinde olduğundan, $\triangle DEC$ de D noktasında dik açılı bir üçgendir. Verilen $|DE| = 1$ cm ve $|EC| = \sqrt{10}$ cm değerlerini kullanarak $DC$ uzunluğunu bulalım:

  $$|DC|^2 + |DE|^2 = |EC|^2$$

  $$|DC|^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2$$

  $$|DC|^2 + 1 = 10$$

  $$|DC|^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{|DC| = 3 \text{ cm}}$$

• 2. Açıları belirleme:

  Let $\angle CBD = \alpha$.

  $\triangle BDC$ dik üçgen olduğundan ($\angle D = 90^\circ$):

  $$\angle BCD = 90^\circ - \alpha$$

  Şekilde $[AB] \perp [BC]$ verildiğinden, $\angle ABC = 90^\circ$'dir.

  $\triangle ABE$ üçgeninde, $[AE] \perp [BD]$ verildiğinden, $\angle AEB = 90^\circ$'dir.

  $\angle ABE$ açısı, $\angle ABC - \angle DBC$ olarak yazılabilir:

  $$\angle ABE = \angle ABC - \angle DBC = 90^\circ - \alpha$$

  Şimdi $\triangle ABE$ dik üçgeninde ($\angle E = 90^\circ$), $\angle BAE$ açısını bulalım:

  $$\angle BAE = 180^\circ - \angle AEB - \angle ABE = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$$

• 3. Benzer üçgenleri tespit etme:

  Şimdi $\triangle ABE$ ve $\triangle BCD$ üçgenlerinin açılarını karşılaştıralım:

  • $\triangle ABE$: $\angle A = \alpha$, $\angle B = 90^\circ - \alpha$, $\angle E = 90^\circ$.
  • $\triangle BCD$: $\angle B = \alpha$, $\angle C = 90^\circ - \alpha$, $\angle D = 90^\circ$.

  Açıları aynı olduğundan, bu iki üçgen benzerdir: $\mathbf{\triangle ABE \sim \triangle BCD}$ (Açı-Açı benzerliği).

• 4. Benzerlik oranını kullanma:

  Benzer üçgenlerin kenar oranları eşittir:

  $$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|BE|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|BD|}$$

  Soruda $|AB| = |BC|$ olduğu belirtilmiştir (şekildeki çift çizgilerle gösterilmiştir). Bu durumda:

  $$\frac{|AB|}{|BC|} = 1$$

  Bu oran diğer kenar oranlarına da eşit olmalıdır:

  $$\frac{|BE|}{|CD|} = 1 \Rightarrow \mathbf{|BE| = |CD|}$$

  $$\frac{|AE|}{|BD|} = 1 \Rightarrow \mathbf{|AE| = |BD|}$$

• 5. $|AE|$ uzunluğunu hesaplama:

  Önceki adımlarda $|CD| = 3$ cm bulmuştuk. Benzerlikten dolayı $|BE| = |CD|$ olduğundan:

  $$|BE| = 3 \text{ cm}$$

  BD uzunluğu, BE ve DE uzunluklarının toplamıdır:

  $$|BD| = |BE| + |DE|$$

  $$|BD| = 3 + 1 = 4 \text{ cm}$$

  Son olarak, benzerlikten dolayı $|AE| = |BD|$ olduğundan:

  $$|AE| = 4 \text{ cm}$$

  Soruda $|AE| = x$ olarak verildiği için, $\mathbf{x = 4}$ cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.