Verilen bilgilere göre:

• \([AB] \perp [BC]\) olduğundan \(\triangle ABC\) bir dik üçgendir ve \(m(\angle B) = 90^\circ\).
• \([CD] \perp [CA]\) ve E noktası AC üzerinde olduğundan, \(\triangle CDE\) de bir dik üçgendir ve \(m(\angle ECD) = 90^\circ\).
• \(m(\angle BAC) = m(\angle CDE)\) olarak verilmiştir. Bu açıya \(\alpha\) diyelim.
• \(|BC| = 6\) cm, \(|AE| = 4\) cm, \(|CE| = 6\) cm.

Şimdi adım adım çözüme geçelim:

1. AC uzunluğunu bulalım:

   \(|AC| = |AE| + |CE| = 4 + 6 = 10\) cm.

2. \(\triangle ABC\)'de AB uzunluğunu bulalım:

   \(\triangle ABC\) dik üçgen olduğundan Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz:

   \(|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2\)

   \(|AB|^2 + 6^2 = 10^2\)

   \(|AB|^2 + 36 = 100\)

   \(|AB|^2 = 64\)

   \(|AB| = 8\) cm.

3. Üçgenlerin açılarını belirleyelim:
   • \(\triangle ABC\)'de:
     • \(m(\angle B) = 90^\circ\)
     • \(m(\angle BAC) = \alpha\) (verilen bilgi)
     • \(m(\angle BCA) = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\)
   • \(\triangle CDE\)'de:
     • \(m(\angle ECD) = 90^\circ\) (çünkü \([CD] \perp [CA]\) ve E, AC üzerinde)
     • \(m(\angle CDE) = \alpha\) (verilen bilgi)
     • \(m(\angle CED) = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\)
4. Üçgenler arasındaki benzerliği tespit edelim:

   Yukarıdaki açılara baktığımızda, \(\triangle ABC\) ve \(\triangle CDE\) üçgenlerinin tüm iç açıları birbirine eşittir (\(\alpha\), \(90^\circ\), \(90^\circ - \alpha\)). Bu durumda bu iki üçgen benzerdir (\(A.A.A.\) benzerliği).

   \(\triangle ABC \sim \triangle CDE\)

5. Benzerlik oranını kullanarak x değerini bulalım:

   Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

   \(\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|BC|}{|CE|} = \frac{|AC|}{|DE|}\)

   Bize \(|CD| = x\) soruluyor. Bilinen değerleri yerine yazalım:

   \(|AB| = 8\) cm

   \(|BC| = 6\) cm

   \(|CE| = 6\) cm

   İlk iki oranı kullanarak:

   \(\frac{8}{x} = \frac{6}{6}\)

   \(\frac{8}{x} = 1\)

   \(x = 8\) cm.

Cevap D seçeneğidir.