Verilen bilgilere göre, ABCD bir dik yamuktur ve DC // AB'dir. Ayrıca CE ⊥ EB ve |EC| = |BE| olduğu belirtilmiştir. |CD| = 2 cm ve |AB| = 4 cm'dir. |BC| = x uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• Adım 1: Bilinmeyen uzunlukları tanımlayalım.

  E noktası AD kenarı üzerindedir. |AE| = a ve |ED| = b olsun.

• Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.

  ABCD bir dik yamuk olduğundan, A ve D köşeleri 90 derecedir.

  • $\triangle AEB$ dik üçgeninde (A köşesi 90 derece): $|EB|^2 = |AE|^2 + |AB|^2 = a^2 + 4^2 = a^2 + 16$.
  • $\triangle DEC$ dik üçgeninde (D köşesi 90 derece): $|EC|^2 = |ED|^2 + |DC|^2 = b^2 + 2^2 = b^2 + 4$.
• Adım 3: |EC| = |BE| eşitliğini kullanalım.

  Yukarıdaki Pisagor denklemlerini eşitleyelim:

  $a^2 + 16 = b^2 + 4$

  $a^2 - b^2 = 4 - 16$

  $a^2 - b^2 = -12$ (Denklem 1)

• Adım 4: CE ⊥ EB koşulunu kullanalım.

  Koordinat düzleminde A noktasını orijin (0,0) olarak alalım. Bu durumda E(0, a), B(4, 0) ve C(2, a+b) olur.

  • CE doğrusunun eğimi ($m_{CE}$): $m_{CE} = \frac{(a+b) - a}{2 - 0} = \frac{b}{2}$
  • EB doğrusunun eğimi ($m_{EB}$): $m_{EB} = \frac{0 - a}{4 - 0} = \frac{-a}{4}$

  CE ⊥ EB olduğu için eğimlerinin çarpımı -1'dir:

  $m_{CE} \cdot m_{EB} = -1$

  $\frac{b}{2} \cdot \frac{-a}{4} = -1$

  $\frac{-ab}{8} = -1$

  $ab = 8$ (Denklem 2)

• Adım 5: Denklem sistemini çözelim.

  Denklem 2'den $b = \frac{8}{a}$ ifadesini Denklem 1'e yerine yazalım:

  $a^2 - \left(\frac{8}{a}\right)^2 = -12$

  $a^2 - \frac{64}{a^2} = -12$

  Her tarafı $a^2$ ile çarpalım:

  $a^4 - 64 = -12a^2$

  $a^4 + 12a^2 - 64 = 0$

  $a^2 = u$ dönüşümü yapalım:

  $u^2 + 12u - 64 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:

  $(u + 16)(u - 4) = 0$

  $u = -16$ veya $u = 4$.

  $u = a^2$ olduğundan, $a^2$ pozitif olmalıdır. Bu yüzden $a^2 = 4$ olur.

  $a = 2$ cm (uzunluk pozitif olmalıdır).

  $b = \frac{8}{a} = \frac{8}{2} = 4$ cm.

  Yani, |AE| = 2 cm ve |ED| = 4 cm'dir.

• Adım 6: |EB| uzunluğunu bulalım.

  $|EB|^2 = a^2 + 16 = 2^2 + 16 = 4 + 16 = 20$.

  $|EB| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm.

  |EC| = |BE| olduğundan, |EC| = $2\sqrt{5}$ cm'dir.

• Adım 7: |BC| = x uzunluğunu bulalım.

  $\triangle CEB$ dik üçgeninde (E köşesi 90 derece) Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  $|BC|^2 = |EC|^2 + |BE|^2$

  $x^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2$

  $x^2 = 20 + 20$

  $x^2 = 40$

  $x = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ cm.

Cevap E seçeneğidir.