Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim.

• Verilen Bilgiler:
  • $m(\widehat{BAD}) = \alpha$
  • $m(\widehat{DAC}) = \theta$
  • $m(\widehat{DCB}) = \beta$
  • $\beta + \theta = 54^\circ$
  • $\triangle ADC \cong \triangle BDC$ (Bu ifade, ADC üçgeni ile BDC üçgeninin eş olduğunu belirtir.)
• Eş Üçgenlerin Özelliklerini Kullanma:

  İki üçgen eş ise, karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşittir. $\triangle ADC \cong \triangle BDC$ olduğundan:

  • $AC = BC$ (Karşılıklı kenarlar)
  • $AD = BD$ (Karşılıklı kenarlar)
  • $CD = CD$ (Ortak kenar)
  • $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DBC})$ (Karşılıklı açılar)
  • $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCD})$ (Karşılıklı açılar)
  • $m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{BDC})$ (Karşılıklı açılar)
• Açıları Belirleme:
  • $AC = BC$ olduğundan, $\triangle ABC$ bir ikizkenar üçgendir. Bu durumda taban açıları eşittir: $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ABC})$.
  • $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAC}) = \alpha + \theta$.
  • Dolayısıyla, $m(\widehat{ABC}) = \alpha + \theta$.
  • $m(\widehat{DAC}) = \theta$ ve $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DBC})$ olduğundan, $m(\widehat{DBC}) = \theta$.
  • $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC})$ eşitliğini kullanarak: $\alpha + \theta = m(\widehat{ABD}) + \theta \implies m(\widehat{ABD}) = \alpha$.
  • $m(\widehat{DCB}) = \beta$ ve $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCD})$ olduğundan, $m(\widehat{ACD}) = \beta$.
  • Buna göre, $m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{ACD}) = \beta + \beta = 2\beta$.
• $\triangle ABC$'nin İç Açıları Toplamı:

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir. $\triangle ABC$ için:

  $$m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCA}) = 180^\circ$$ $$(\alpha + \theta) + (\alpha + \theta) + 2\beta = 180^\circ$$ $$2\alpha + 2\theta + 2\beta = 180^\circ$$

  Her tarafı 2'ye bölelim:

  $$\alpha + \theta + \beta = 90^\circ$$
• $\alpha$'yı Bulma:

  Soruda verilen $\beta + \theta = 54^\circ$ bilgisini son denkleme yerine koyalım:

  $$\alpha + (\theta + \beta) = 90^\circ$$ $$\alpha + 54^\circ = 90^\circ$$ $$\alpha = 90^\circ - 54^\circ$$ $$\alpha = 36^\circ$$

Cevap A seçeneğidir.