Verilen problemi adım adım çözelim:
Şekilde
\(\triangle ABC\)
ve\(\triangle CDE\)
üçgenleri verilmiştir.AB
\(\perp\)
BD
olduğu için\(\angle ABC = 90^\circ\)
dir.|BC|
= 6 cm olarak verilmiştir.|AC|
=|CE|
=|ED|
eşitliği bulunmaktadır. Bu uzunluklara k diyelim:|AC|
=|CE|
=|ED|
= k.\(\angle ACB\)
ve\(\angle DCE\)
ters açılar olduğu için birbirine eşittir. Bu açıya\(\alpha\)
diyelim:\(\angle ACB = \angle DCE = \alpha\)
.\(\triangle CDE\)
üçgeninde|CE|
=|ED|
= k olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu durumda\(\angle CDE = \angle DCE = \alpha\)
olur.Şimdi
\(\triangle ABC\)
dik üçgenine bakalım:\(\cos(\angle ACB) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\)
\(\cos(\alpha) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{6}{k}\)
(Denklem 1)
Şimdi
\(\triangle CDE\)
üçgenine bakalım:Açıları
\(\alpha\)
,\(\alpha\)
ve\(\angle CED = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha\)
dir.Sinüs Teoremini uygulayalım:
\(\frac{|CD|}{\sin(\angle CED)} = \frac{|CE|}{\sin(\angle CDE)}\)
\(\frac{x}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin(\alpha)}\)
\(\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)\)
olduğu için:\(\frac{x}{\sin(2\alpha)} = \frac{k}{\sin(\alpha)}\)
Trigonometrik özdeşlik olan
\(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)
ifadesini yerine yazalım:\(\frac{x}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{k}{\sin(\alpha)}\)
\(\sin(\alpha)\)
değerleri sadeleşir (çünkü\(\alpha\)
bir üçgenin açısı olduğu için\(\sin(\alpha) \neq 0\)
):\(\frac{x}{2\cos(\alpha)} = k\)
\(x = 2k\cos(\alpha)\)
(Denklem 2)
Denklem 1'deki
\(\cos(\alpha)\)
değerini Denklem 2'de yerine yazalım:\(x = 2k \left(\frac{6}{k}\right)\)
\(x = 2 \times 6\)
\(x = 12\)
Buna göre,
|CD|
= x = 12 cm'dir.Cevap B seçeneğidir.