Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. ABC üçgeninin özelliklerini belirleyelim:

  Soruda ABC üçgeninin ikizkenar olduğu ve \(|AB| = |AC|\) olduğu belirtilmiştir. İkizkenar üçgenin taban açıları eşit olduğundan, \(m(\angle B) = m(\angle C)\) olur. Bu açılara \(\beta\) diyelim.

• 2. BDE ve FEC üçgenlerini inceleyelim:

  Soruda verilen bilgilere göre:

  • \(m(\angle BDE) = m(\angle FEC)\). Bu açılara \(\alpha\) diyelim.
  • \(|DE| = |EF|\).
  • \(|BE| = 3\) cm ve \(|EC| = 5\) cm.

  Şimdi bu iki üçgenin açılarını yazalım:

  • \(\triangle BDE\) için:
    • \(m(\angle B) = \beta\)
    • \(m(\angle BDE) = \alpha\)
    • \(m(\angle BED) = 180^\circ - \beta - \alpha\)
  • \(\triangle FEC\) için:
    • \(m(\angle C) = \beta\)
    • \(m(\angle FEC) = \alpha\)
    • \(m(\angle CFE) = 180^\circ - \beta - \alpha\)

• 3. Üçgenler arasındaki eşliği (kongrüansı) belirleyelim:

  \(\triangle BDE\) ve \(\triangle FEC\) üçgenlerinin açılarını karşılaştırdığımızda:

  • \(\angle B\) (\(\triangle BDE\)) ile \(\angle C\) (\(\triangle FEC\)) eşittir (ikisi de \(\beta\)).
  • \(\angle D\) (yani \(\angle BDE\)) (\(\triangle BDE\)) ile \(\angle E\) (yani \(\angle FEC\)) (\(\triangle FEC\)) eşittir (ikisi de \(\alpha\)).
  • \(\angle E\) (yani \(\angle BED\)) (\(\triangle BDE\)) ile \(\angle F\) (yani \(\angle CFE\)) (\(\triangle FEC\)) eşittir (ikisi de \(180^\circ - \beta - \alpha\)).

  Bu durumda, açılarının eşitliğinden dolayı \(\triangle BDE \sim \triangle CEF\) (Açı-Açı-Açı benzerliği) olduğu sonucuna varırız. Köşelerin sıralaması önemlidir: B'den C'ye, D'den E'ye, E'den F'ye.

  Benzerlik oranını kontrol edelim: \(|DE| = |EF|\) olduğu verildiğinden, karşılıklı kenarların oranı 1'dir. Bu da üçgenlerin benzer olmaktan öte, eş (kongrüan) olduğu anlamına gelir.

  Yani, \(\triangle BDE \cong \triangle CEF\).

• 4. Eşlikten faydalanarak bilinmeyen uzunlukları bulalım:

  \(\triangle BDE \cong \triangle CEF\) eşliğinden dolayı karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir:

  • \(|BD| = |CE|\)
  • \(|BE| = |CF|\)
  • \(|DE| = |EF|\) (Bu zaten verilmişti)

  Verilen uzunlukları yerine yazalım:

  • \(|CE| = 5\) cm olduğundan, \(|BD| = 5\) cm olur.
  • \(|BE| = 3\) cm olduğundan, \(|CF| = 3\) cm olur.

• 5. \(x\) değerini hesaplayalım:

  ABC üçgeninin ikizkenar olduğunu ve \(|AB| = |AC|\) olduğunu biliyoruz.

  • \(|AB| = |AD| + |DB| = x + 5\)
  • \(|AC| = |AF| + |FC| = 6 + 3 = 9\)

  \(|AB| = |AC|\) eşitliğini kullanarak \(x\) değerini bulalım:

  \(x + 5 = 9\)

  \(x = 9 - 5\)

  \(x = 4\) cm.

Cevap C seçeneğidir.